204
Kapitel XI.
der Quadratzahlen, welche durch Vervielfältigung einer Zahl mit einerihr gleichen entstehen, und in die Rechteckszahlen, hei welchen diezu vervielfältigenden Zahlen ungleich gewählt werden müssen.')Das eintheilende Unterscheidungsmerkmal ist hier demnach Rationa-lität, beziehungsweise Irrationalität bei der Ausziehuug der Quadrat-wurzel, und man kann hier eine früher (S. 155) von uns angekündigteBestätigung derjenigen Vermutliung linden, welche Quadrat undMeteromekie in der pythagoreischen KatogorientafeL des Aristoteleseinfach als Ersatzwörter für Rationalität und Irrationalität erklärt.Wenn Theätet sodann fortfährt „in Betreff der festen Körper machtenwir es ähnlich," so ist der Sinn dieses Satzes verschiedener Deutungfähig. Es kann hier auf irrationale Kubikwurzeln angespielt sein 2 ),möglicherweise auch auf die Ausziehbarkeit oder Nichtausziehbarkeitvon Quadratwurzeln aus Produkten aus je drei Faktoren. Letzteresist uns namentlich um desswillen wahrscheinlicher, als jede andereNotiz darüber, dass der Begriff der Kubikwurzel damals schon be-kannt gewesen sein sollte — die Aufgabe der Würfelverdoppelungschliesst ihn noch keineswegs ein — uns fehlt, während von derEinschaltung eines oder zweier geometrischen Mittel zwischen Körper-"" zahlen im platonischen Timäus (S. 140) die Rede war. Eine weitereBestätigung dieser unserer Ansicht liegt in einer muthmasslich vonProklus herrührenden Anmerkung zum X. Buche des Euklid . Derü. Satz des X. Buches dieses Schriftstellers heisst: Quadrate commen-surabler Linien verhalten sich wie Quadratzahlen, incommensurablerLinien nicht wie Quadratzahlen und umgekehrt. Dazu bemerkt nunder Scholiast: „dies Theorem ist eine Erfindung des Theätet, undPlaton gedenkt desselben in dem Dialoge Theätet ; nur wird es dortspeciell auseinandergesetzt, hier aber allgemein.“ 3 * ) Noch eine letzteAngabe über Theätet liefert uns Suidas, er habe zuerst über diefünf Körper geschrieben.') Offenbar ist hier an ein zusammen-hängendes Ganzes zu denken, was nicht ausscldiesst, dass schonvorher llippasos oder irgend ein Anderer über das Dodekaeder be-sonders geschrieben haben könnte. Ob auch diese Schrift des Theätet,wie man behauptet hat 5 ), den Untersuchungen über Irrationales ver-wandt war, 'ob insbesondere über das Verhältniss der Kanten dieserKörper zum Halbmesser der umschriebenen Kugel Betrachtungen vonder Art, wie sie im XIII. Buche des Euklid Vorkommen, angestelltwurden, überlassen wir einzelnem Ermessen. Bestimmtere Angabengibt es darüber nicht.