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Kapitel XI.

liehe Wichtigkeit in der Lehre von den Oertern, in der höherenMathematik des Alterthums, welcher der andere Theil der Neuent-deckungen angehört. Es sind der Hauptsache nach drei Probleme,durch welche die höhere Mathematik, der Zirkel und Lineal nicht ge-nügen, hervorgerufen wird: die Quadratur des Kreises, in der Form,wie Dinostratus sie behandelt, die liectification mit einschliessend, dieDreitheilung des Winkels, die Verdoppelung des Würfels. Die beidenletzten Probleme führen zur Erfindung mannigfacher Curven, unterwelchen die Kegelschnitte durch die später gewonnene Ausbildungihrer Lehre an Wichtigkeit hervorrageu. An sich aber sind sie kaummerkwürdiger als jene anderen krummen Linien, von denen eine, durchArchytas zum Zwecke der Würfel Verdoppelung ersonnen, sogar eineLinie doppelter Krümmung ist. Die Kreisquadratur hat noch einebesondere Seite, mittels deren die höhere Mathematik des Alterthumsmit der der Neuzeit sich berührt. Sie erfordert Infinitesimalbetrach-tungen. Das Unendlichgrosse wie das Unendlichkleine sind demAlterthume keineswegs fremd. Nur wagte man nicht — zunächstvielleicht aus Scheu vor Angriffen, wie die eleatische Schule sie übte— eine unmittelbare Benutzung des Unendlichen sich zu gestatten. Diemittelbare Methode der Zurückführung auf das Unmögliche, späterfür diese Gattung von Aufgaben unter dem Namen der Exhaustionbekannt, diente zum Ersätze und zeigte sich als so wirksam, dass vonnun an ein anderes Beweisverfahren gar nicht mehr gestattet wordenwäre. So bleibt der Form nach die gesannute Mathematik einheitlich ge-staltet als Geometrie, ohne dass ein äusserer Unterschied der Beweis-führung zwischen niederer und höherer Geometrie obwaltete. Auchdie Arithmetik fügt sich diesem einheitlichen Zusammenhänge, sienimmt mehr und mehr ein geometrisches Gewand an, dessen sie auchin dem nun folgenden Jahrhunderte, in der Glanzperiode griechischerMathematik, sich nicht entkleiden wird.

Mit diesem Ueberblicke könnten wir füglich dieses Kapitel schliessen.Wir sollten es vielleicht. Ganz äusserliclie Gründe bestimmen unseinen kurzen Anhang nachzuschicken, und in demselben Dinge zurSprache zu bringen, die zur Bildung eines eigenen Kapitels stofflich nichtausreichend den einheitlichen Charakter des folgenden Kapitels nurnoch viel mehr entstellen würden, wenn wir vorzögen sie dorthin zuverweisen. Wir meinen die mathematische Bedeutung von Aristoteles und seinen nächsten Schülern.

Aristoteles 1 ) ist 384 geboren, 322 gestorben. Seine VaterstadtStagira lag in der thrakischen, aber grösstentheils von Griechen be-wohnten Landschaft Chalkidike ; sein Vater war Leibarzt des KönigsAmyntas von Makedonien . Diese beiden Erbiiberlieferungen beeinflussten

') Vergl. Zeller, Die Philosophie der Griechen. Bd. II, 2 S. 1 figg.