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Die in 13 Bücher gegliederten Elemente des Euklid zerfallen invier Haupttheile. Erstens behandeln sie Raumgebilde, welche aufeiner Ebene gezeichnet sind und das Verhältnis ihrer gegenseitigenGrösse, die theils gleich, theils ungleich ist. Im erstereu Falle ge-nügt der Nachweis der Identität, im letzteren verlangt man etwasmehr: man will die Ungleichheit messen. Dazu aber dient die Zahl,das Maass einer jeden Grösse, und folglich wird es Bedürfniss,Untersuchungen über die Zahl anzustellen. Damit ist der zweiteIlaupttheil des Werkes erfüllt. Die vollständig bestimmte Zahlreicht indessen nicht aus, um alle Grössen zu messen, welche dergeometrischen Betrachtung unterworfen werden. Es gibt vielmehrRaumgebilde, seien es nun Längen oder Flächen, welche mit derGrösseneinheit derselben Art kein genau angebbares gemeinsamesMaass besitzen, ohne dass sie dessluilb aufhören selbst Grössen zusein. Man nennt sie nur im Gegensätze zu dem genau Messbarenmit der Einheit incommensurabel. Die Betrachtung solcher Incom-mensuraliilitäten ist somit unerlässlich, sie bildet den dritten llaupt-theil des Ganzen. Endlich im vierten Tlieile verlässt die Betrachtungdas bisher eingehaltene Feld der Zeichnungsebene, die Verhältnissedes allgemeinen Raumes werden untersucht, die gegenseitige Lageund Grösse von Flächen und Körpern werden besprochen. Das istfreilich nur der ganz allgemeine Inhalt des Werkes 1 ), es dürfte sichempfehlen näher auf die Einzelheiten desselben eiuzugehen.
Im I. Buche handelt Euklid von den Grundbestandtkeilen grad-liniger Figuren in der Ebene, von geraden Linien, welche sich ent-weder schneiden und mit einer dritten Linie ein Dreieck bilden, überdessen Bestimmtheit durch gewisse Stücke gesprochen wird — Con-gruenz der Dreiecke — oder welche sich nicht treffen, so weitman sie verlängert — Parallellinien. Um mit Hilfe der Parallel-linien eine Figur zu erzielen bedarf es zweier schneidenden Geraden,und so entsteht das Viereck, insbesondere das Parallelogramm,sofern die Schneidenden selbst unter sich parallel sind. Die Eigen-schaften der Parallelogramme vereinigt mit denen der Dreiecke führenzum Begriffe von Figuren, welche aus an und für sich identischenTheilen bestehen, aber nicht in identischer Weise zur gegenseitigenDeckung gebracht werden können, Gleichheit von niclitcon-gruenten Flächenräumen. Bei solchen Flächen kommt es alsodarauf an die identischen Tlieile abzusondern, in anderer Weise zu-sammenzufügen, und so lehrt der 44. Satz an eine gegebene gerade
dürfte Proklus im Auge gehabt haben, als er zum beweis, dass Archimed späterals Euklid lebte, sagte, dass dieser jenen in seinem ersten Buche erwähne.') In diesen klaren Umrissen hat ihn z. B. Gregory in der Vorrede seinerEuklidausgabe entworfen.
Castob, Geschichte der Mathem. I.
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