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Kapitel XII.

Linie unter gegebenem Winkel ein Parallelogramm anzulegen,xapcißdAXiLV , welches einem gegebenen Dreiecke gleich sei; es lehrtder 4;">. Hatz die Verwandlung jeder gradlinigen Figur in ein Parallelo-gramm von gegebenen Winkeln, bis im 47. und 48. Satze das Buchmit dem interessantesten Falle einer derartigen Umwandlung, mitdem pytbagoräischen Lehrsätze und dessen Umkehrung abschliesst.

Das II.Buch ist gewissermassen ein Zusatz zu dem pythagoräisclienLehrsätze. In ihm wird die Herstellung eines Quadrates aus Quadratenund Rechtecken in den verschiedensten Combinationen, theils als Summe,tlieils als Differenz gelehrt, bis auch wieder eine Zusammenfassungin der Aufgabe erfolgt, ein jeder gegebenen gradlinigen Figurgl ei dies Quadrat zu zeichnen. Zugleich lässt aber dieses Bucheine andere Auffassung zu, welche mit der doppelten Bedeutung despytbagoräischen Satzes in Verbindung stellt. Wir wissen, dass dieserSalz, sofern er der Arithmetik augehört, besagt, dass es zwei Zahlenbestimmter Art gebe, welche als Summe eine dritte Zahl liefern vongleicher Art wie die beiden Posten. Als Zusatz zu dem pythagoräisclienLehrsätze in diesem Sinne lehrt das 2, Buch die Rechnung insbesonderedie Multiplikation mit additiv und subtraktiv zusammengesetzten ZahlenIn moderner Schreibweise heissen die 10 ersten Sätze alsdann:

1) a b -j- a c ad -f- ■■■ = a (b -f- c -f- d + •• •) 2) ab -(- a (a — b) = a-

3) ab = b (« — b) + b 2 4) a 2 = b 2 + (a — b) 2 + 2 b(a — b)

5) (n - b) b + (“ - bj = Q 2 6) (fl + b) b + (|) 2 = (“• + bf7) « 2 + P = 2ab + (« — b') 2 8) 4ab + (a — bf = (o + b)°-

»)(«-&)* += 2 (J)* + 2g-&)*

10 ) („ + iy + Ir = 2 (‘y + 2(‘+ bf

Als 11. Satz erscheint die Aufgabe des goldenen Schnittes. Ihregeometrische Beziehung zur Construction des regelmässigen Fünfeckshaben wir früher (S. 151) besprochen. Arithmetisch, oder vielmehralgebraisch aufgefasst ist die Tragweite der Aufgabe „eine gegebeneStrecke so zu schneiden, dass das aus dem Ganzen und einem derbeiden Abschnitte gebildete Rechteck dem Quadrate des übrigen Ab-schnittes gleich sei“ dahin zu bestimmen, dass eine Auflösung derGleichung a (a— x) = x 2 , beziehungsweise der Gleichung x 2 -\-rtx — a 2

gesucht wird'). Euklid findet x = j/a 2 -f- und beweist

die Richtigkeit dieser Auflösung durch folgende Schlüsse, bei derenDarstellung wir uns die einzige Aenderung gestatten, dass wir die

') Diese Auffassung der Aufgabe II, 11 dürfte zuerst bei Arnetli, Geschichteder reinen Mathematik (Stuttgart , 1852) S. 102 zu linden sein.