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sind. Ein besonderes Gewicht legt Euklid auf die Irrational-zahlen, deren er vielfältig unterschiedene Formen aufzählt. Da-bei ist zu beachten, dass das Incommensurable, növfiufTgnv, desEuklid sich mit unserem Begriffe der Irrationalzahl deckt, währendsein Rationales, gt]T0i>, und Irrationales, nloyov, von dem, was wirunter diesen Wörtern verstehen, abweiclit. Rational ist ihm das ansich und das in der Potenz Messbare, d. h. diejenigen Linien sindrational, welche selbst durch die Längeneinheit oder deren Quadrat-fläche durch die Flächeneinheit genau ausmessbar sind, also a sowohlals f/a, während das Wort irrational für jeglichen mit Wurzelgrössenbehafteten Ausdruck ausser der einfachen Quadratwurzel ]/a An-wendung findet. Demgemäss ist das Produkt a mal j/b oder ya'mal j/b bei Euklid irrational, weil jedes dieser beiden Produkte alsProdukt schon eine Fläche bedeutet, also nicht mehr „in der Potenzmessbar“ sein kann. Irrational ist um so mehr die Linie, welche
a ■ j/b oder j/a ■ j/b als Quadrat besitzt, d. h. j/ a j/b und j/ab
und diese Gattung von Irrationalitäten heisst pic?»;, die Mediallinie.Addition und Subtraktion zweier Längen, von denen mindestens eineincommensurabel ist, gibt die Irrationalität von zwei Benennungen,■ij ix dvo ovo 1 uc<tcoi', und die durch Abschnitt Entstandene, anozofn),d. k. die Binomialen a -(- j/b oder }/a -|- j/b und die Apotomena — Yb oder ya — b oder ya — yb . Wir würden allzu weit-schweifig werden müssen, wenn wir alle Verbindungen zwischendiesen Medialen, Binomialen und Apotomen erörtern wollten, welchein dem X. Buche Vorkommen. Statt dessen nur die Bemerkung, dasswir hier wieder ein Beispiel praktischer Combinatorik vor uns haben,indem alle Verschiedenheiten berücksichtigt sind, die überhaupteintreten können. Eines freilich ist vorausgesetzt, dass nämlich nurWiederholungen von Quadratwurzelauszieliungen Vorkommen, dassalso sämmtliche im X. Buche behandelten Irrationalitäten der Con-struction mit Hilfe von Zirkel und Lineal unterworfen sind, und solcheIrrationalitäten sollen uns von nun an euklidische Irrationa-litäten heissen,* wie sie thatsäehlicli in späterer Zeit genannt wordensind. Wir heben zwei Sätze des X. Buches besonders hervor, daserste Lemma, welches auf Satz 29. folgt, und welches zwei Quadrat-zahlen bilden lehrt, deren Summe wieder Quadratzahl ist, und denletzten Satz des Buches von der gegenseitigen Incommensurabilitiitder Seite und der Diagonale eines Quadrates. Letzteren Satz habenwir nebst seinem muthmasslich altpythagoräisclien Beweise daraus,dass sonst Grades und Ungrades einander gleich wären, schon (S. 155)besprochen. Die Herstellung rationaler rechtwinkliger Dreiecke istuns auch kein neuer Gegenstand. Methoden des Pythagoras (S. 157)