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Kapitel XII.

und des Platon (S. 192) sind uns bekannt geworden, jene von ungraden,diese von graden Zahlen ausgehend. War nämlich aus « 2 = b 2 + c 2die Folgerung e 2 = (a -f- &) (a — b) gezogen, und daraus die weitereFolgerung, dass a -f- b und a — b ähnliche Flächenzahlen sein müssen,so nahmen wir an, dass jene Männer die besonders einfachen Versucheangestellt hätten, einmal a — b = 1 und einmal a — b — 2 zu setzen.Das Verfahren des Euklid kann als Bestätigung unserer Vermuthungengelten. Nach der besonderen Annahme konnte und musste mandazu übergehen für a + b und a — b irgend welche ähnliche Flächen-zahlen zu wählen, und dieses that Euklid . Er lässt ähnliche Flächen-zahlen, d. h. solche, welche proportionirte Seiten haben (Definition21. des Vll. Buches), und deren Produkt eine Quadratzahl geben muss(Satz 1. des IX. Buches), bilden, etwa « • ß 2 und « • y 2 , und verlangtdabei, dass beide grade oder beide ungrade seien, damit ihr Unter-schied halbirbar ausfalle. Unter dieser Voraussetzung wird sodann

« ß- ■ a y 2 -f- ( “ ^ - - 7 J = mithin sind die Seiten des

rechwinkligen Dreiecks « ß y , ~ gefunden.

Wir haben noch den Inhalt des letzten llaupttheiles der eukli-dischen Elemente anzugeben, der in dem XL, XU. und XIII. Buche ent-haltenen Stereometrie. Im XL Buche beginnt diese Lehre genau inder Weise, wie sie auch heute noch behandelt zu werden pflegt, mitden Sätzen, welche auf parallele und senkrechte grade Linienund Ebenen sich beziehen, woran Untersuchungen über Ecken sichschliessen. Alsdann wendet sich der Verfasser zu einem besonderenKörper, dem Parallelepipedon und geht nur in dem letzten Satzedes Buches zu dem allgemeineren Begriffe des Prisma Uber.

Das XII. Buch enthält jlie Lehre von dem Maasse des körper-lichen Inhaltes der Pyramide, des Prisma, des Kegels, des Cylin-ders und endlich der Kugel. Eine wirkliche Berechnung findet sichallerdings bei Euklid nie, weder wo von Flächeninhalten noch wovon Körpermaassen die Rede ist, und namentlich bei solchen Raum-gebilden, zu deren Erzeugung Kreise oder Kreisstücke beitragen, istnirgend angegeben, wie man eigentlich zu rechnen «habe. Sollte dieAusrechnung des Kreisinhaltes von den Aegyptern bis zu Euklid verloren gegangen sein? Die Unwahrscheinliehkeit dieser Annahmeder mehrfachen Beschäftigung mit der Quadratur des Kreises beiAuaxagoras, bei Antiphon, bei Bryson, bei llippokrates gegenüberwird vollends für einen in Alexandria lebenden Mathematiker zurUnmöglichkeit. Aegypten , welches das Althergebrachte mit Zähig-keit festhielt, welches ein Exemplar des Rechenbuches des Ahmesnoch mehr als 2000 Jahre später als Euklid uns unversehrt über-liefert hat, war nicht das Land, in welchem so unbedingt Noth-