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wendiges wie die Kreisrechnung vergessen wurde, und ebensoweniglässt sich annehmen, dass die ägyptische Geometrie den griechischenGelehrten, welche unter dem Schutze des ägyptischen Königs sichdort aufhielten, unbekannt hätte bleiben können. Wir stehen viel-mehr hier vor einer absichtlichen Weglassung, vor einem grundsätz-lichen Widerstreite zwischen Geometrie und Geodäsie.Letztere, deren Vorhandensein zur Zeit des Aristoteles wir (S. 218)hervorgehoben haben, war ihrem Wesen nach eine rechnende Geometrie.In der eigentlichen oder theoretischen Geometrie war Rechnung alssolche ausgeschlossen. Aristoteles hat ausdrücklich gesagt: „Mankann nicht Etwas beweisen, indem man von einem anderen Genusausgeht, z. B. Nichts Geometrisches durch Arithmetik. . . Wo dieGegenstände so verschieden sind, wie Arithmetik und Geometrie, dakann man nicht die arithmetische Beweisart auf das, was den Grössenüberhaupt zukommt, an wenden, wenn nicht die Grössen Zahlen sind,was nur in gewissen Fällen Vorkommen kann“ 1 ), und was hier vonden Beweisen gesagt ist, scheint auch auf Rechnungsoperationen aus-gedehnt worden zu sein. So zeigt also Euklid in diesem XII. Buchenur, dass Kreise wie die Quadrate ihrer Durchmesser sich verhalten,was Hippokrates von Chios schon wusste; er zeigt, dass, wie diePyramide der dritte Theil des Prisma von gleicher Höhe und Grund-fläche ist, ein ganz gleichlautender Satz für Kegel und Cylinderstattfindet, was Eudoxus von Knidos schon erkannt hatte; er schliesstmit dem Satze, dass Kugeln im dreifachen Verhältnisse ihrer-Durch-messer stehen. Euklid benutzt zum Beweise dieser Sätze den an derSpitze des X. Buches stehenden von der Möglichkeit durch fort-gesetzte Halbirung einen beliebigen Grad der Kleinheit zu erreichen.Geben wir als Beispiel seines Verfahrens den Satz vom Kreise, wobeiwir, wie schon öfter, zur bequemeren Uebersicht uns moderner Zeichenbedienen, im Uebrigen aber uns genau an Satz 2. des XII. Buchesansehliessen. Vorausgeschickt ist der Satz, dass die Flächen ähnlicherin zwei Kreise eingeschriebener Vielecke sich wie die Quadrate derDurchmesser der betreffenden Kreise verhalten. Heissen nun K { undK 2 die beiden Kreisflächen, deren Durchmesser d) und d 2 sind, sosei angenommen, dass K x : K 2 in kleinerem Verhältnisse stehen wied', 2 : d 2 2 . Sicherlich gibt es eine Oberfläche £1, welche dem Verhält-nisse iT, : £i = d, 2 : d 2 2 genügt, und weil 7F, : K 2 < AT, : £1, so wirdK 2 > £1 sein müssen. Dann ist es aber unmöglich, dass dasselbeVerhältniss d, 2 : d 2 2 auch obwalte zwischen einer Fläche, die kleinerist als K y und einer anderen, die grösser ist als £1, und gleichwohllässt sich das Vorhandensein eines solchen unmöglichen Verhältnissesunter der gemachten Voraussetzung nachweisen und damit die Un-
') Aristoteles, Analyt, post. I, 7. 75, a.