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Kapitel XII.

zuliissigkeit der Voraussetzung selbst. Denn beschreibt man in K tund K., einander ähnliche Vielecke und <P 2 , so ist jedenfalls(p t : (p., = d, 2 : d 2 2 und zugleich <Z>, < K y Es genügt also noch zuzeigen, dass es ein <P 2 gibt, welches grösser als Sl und kleiner alsK 2 ist, und dazu wird die Exhaustion angewandt. Ein dem Kreisumschriebenes Quadrat ist offenbar grösser als der Kreis und zugleichgenau doppelt so gross als das dem Kreise eingeschriebene Quadrat.Mithin ist Letzteres grösser als die halbe Kreisfläche, oder unter-scheidet sich von der Kreisfläche um weniger als deren Hälfte. Wirdin jedem der vier diesen Unterschied .bildenden Kreisabschnitte derDogen halbirt und mit dem llalbirungspunkte und den Endpunktenals Spitzen ein Dreieck gebildet, so ist dieses die Hälfte eines Rechtecks,innerhalb welches der Kreisabschnitt eingeschlossen liegt, also grösserals die Hälfte des Abschnittes. Das entstandene Achteck unterscheidetsich somit von dem Kreise um weniger als den vierten Theil des-selben. Ebenso wird zu zeigen sein, dass der Unterschied zwischendem regelmässigen Vielecke von 16 »Seiten und seinem Umkreise

geringer als * der Kreisfläche ist. Hei jedesmaliger Verdopplung

der Seitenzahl des Vielecks wird der Flächenunterscliied desselbengegen den Kreis mehr als nur halbirt, und schon immerwährendeJlalbirung genügt nach dem Satze der Exhaustion, um jede beliebigeGrenze der Kleinheit zu erreichen. Es ist also damit sicher gestellt,dass endlich ein Vieleck <2> 2 erscheinen muss, dessen Fläche sich vonder des Kreises um weniger als z/ unterscheidet, wenn A = K 2 — ilist, und das ihm ähnliche dem Kreise K i eingeschriebene Vieleokist jenes zugehörige <P,, welches den ersten Widerspruch liefert.Dass ein zweiter Widerspruch aus der Annahme K { : IC 2 > dj 2 : d', 2hervorgeht, und dass dieser Widerspruch gleichfalls mit Hilfe des Satzesvon der Exhaustion klargestellt wird, bedarf nicht erst der ausführlichenAuseinandersetzung. Keine dieser beiden Annahmen findet also statt,sondern nur die zwischen ihnen liegende 7F, :7f 2 =(J 1 2 :dy ! . Das ist der vonEuklid eingeschlagene Weg, der in jedem einzelnen Falle mit allerStrenge in ermüdender Einförmigkeit eingehalten wird, ohne dass je-mals eine Abkürzung des Verfahrens für statthaft angesehen würde.

Das XHI. Buch endlich kehrt zu einem Gegenstände zurück, demdas IV. Buch theihveise gewidmet w 7 ar. Es handelt von den regel-mässigen einem Kreise eingeschriebenen Vielecken, ins-besondere von den Fünfecken und Dreiecken. Dann aber benutzt esdiese Figuren als Seitenflächen von Körpern, welche in eine Kugeleingeschrieben werden und scliliesst mit der wichtigen Bemerkung,dass es keine weiteren regelmässigen Körper geben könneals die fünf zuletzt erwähnten, nämlich das Tetraeder, das Octaeder,das Ikosaeder, die von Dreiecken begrenzt sind, den Würfel, dessen