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Kapitel XIII.

wisse Dinge gegeben sind, andere Dinge gleichzeitig mitgegeben sind.Zur besseren Einsicht in den Gegenstand heben wir einige Sätze ausden verschiedensten Tlieilen der Schrift hervor:

Satz 1. Gegebene Grössen haben zu einander ein gegebenesVerhältniss.

Satz 3. Wenn gegebene Grössen, wie viele ihrer sein mögen,zusammengesetzt werden, so ist ihre Summe gegeben.

Satz 25. Wenn zwei der Lage nach gegebene Linien einanderschneiden, so ist ihr Durchschnittspunkt gegeben.

Satz 40. Wenn in einem Dreiecke jeder Winkel der Grössenach gegeben ist, so ist das Dreieck der Art nach gegeben.

Satz 41. Wenn in einem Dreiecke ein Winkel gegeben ist unddie um diesen Winkel liegenden Seiten ein gegebenes Verhältniss zueinander haben, so ist das Dreieck der Art nach gegeben.

Satz 54. Wenn zwei der Art nach gegebene Figuren ein ge-gebenes Verhältniss zu einander haben, so haben auch ihre Seiten zueinander ein gegebenes Verhältniss.

Satz 58 und 59. Wenn ein gegebener Raum einer gegebenengraden Linie angefügt, aber um eine der Art nach gegebene Figurzu klein, HXXsinov (zu gross, vTteQßaXXov) ist, so sind die Seiten derErgänzung (des Ueberschusses) gegeben.

Satz 84 und 85. Wenn zw r ei Gerade einen gegebenen Raumunter einem gegebenen Winkel einschliessen und ihr Unterschied(ihre Summe) gegeben ist, so ist jede derselben gegeben.

Satz 89. Wenn in einem der Grösse nach gegebenen Kreiseeine der Grösse nach gegebene Gerade gegeben ist, so begrenztsie einen Abschnitt, welcher einen gegebenen Winkel fasst.

Die Vergleichung dieser Proben mit dem, w'as über Porismengesagt wurde, lässt augenblicklich die angekündigte Formverwandt-schaft erkennen. Auch hier schliesst das Theorem, in dessen Gewändedie Sätze aufzutreten pllegen, ein künftiges Problem ein, und dieBeweisführung erfolgt fast regelmässig so, dass jenes Problem gelöstwird. So ist in dem oben angeführten Satz 3. die Aufgabe mit ein-geschlossen, die Summe der gegebenen Grössen auch wirklich zulinden, und in der That wird der Satz dadurch als richtig erwiesen,dass man zwar nicht die Summe selbst, denn dieses würde nicht indem Charakter des Buches der Gegebenen liegen, aber eine der Summegleiche Grösse darstellt. Aber auch dafür ist umgekehrt gesorgt,dass man nicht Daten und Porismen ganz verwechseln könne. Da-gegen schützt der gewaltige Unterschied des Inhaltes, der sich kurzdahin bezeichnen lässt, dass bei den Daten die Bedingung der ver-änderlichen Grösse wegfällt, welche zum eigentlichen Wesen desPorisma gehört und dessen wissenschaftliche Stellung nach unserenheutigen Begriffen zu einer weit höheren macht als die der Daten,