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deren eigentliche Berechtigung uns fast zweifelhaft erscheint, weil inihnen im Grunde Nichts steht, was nicht schon in anderer Form undanderer Reihenfolge in den Elementen steht oder wenigstens stehenkönnte.
Die Data, kann man sagen, sind Uehungssiitze zur Wiederauf-frischung der Elemente; die Porismen sind Anwendungen derselbenvon selbständigem Werthe. Der Stoff, welcher dem, der die Datenauswendig weiss, zu Gebote steht, führt ihn doch nicht über dieElemente hinaus; der Stoff, welcher in den Porismen dem Gedächt-nisse sich einprägt, kommt in der Lehre von den Oertern, in derhöheren Mathematik der Griechen, zur Geltung. Daten kann es infrühester Zeit gegeben haben, Porismen im euklidischen Sinne erstseitdem der Ortsbegriff entstand.
Die nahen Beziehungen der Daten zu den Elementen lassen sichauch auf jenem Gebiete verfolgen, welches ein gemischtes ist, insoferndort Arithmetisches und Algebraisches geometrisch eingekleidet er-scheinen. Vergleichen wir z. B. Satz 58. und 59. mit den Aufgabenin Satz 28. und 29. des VI. Buches (S. 228), so liegt die Wechsel Ver-bindung auf der Hand. 1 ) Satz 84. und 85. lehren aus xy = b 2 und
x Zy=a die Wurzeln der beiden Gleichungen, oder, was aufdasselbe hinausläuft, die Wurzel der quadratischen Gleichung
x i i|i yi = ax zu finden. 2 ) Wir erinnern dabei an den 11. Satz desII. Buches der Elemente (S. 226), in welchem die Gleichung x 2 -f- ax = n 2erkannt wurde, ein besonderer Fall der Gleichung x 2 -f- ax = b 2 des29. Satzes des VI. Buches. Wir erinnern an die Gleichung x 2 — ax -j- b 2des 28. Satzes des VI. Buches, und haben jetzt hier in den Daten deneinzigen noch übrigen Fall x 2 -f- b 2 = ax der quadratischen Gleichungmit lauter positiven Gliedern vor uns. Die Daten sind hier dienothwendige Ergänzung der Elemente. Der Schriftsteller, der beideverfasste, war im Besitz der Mittel eine Wurzel jeder quadratischenGleichung, welche überhaupt eine reelle Lösung zulässt, zu finden,wenn auch vielleicht das Bewusstsein hier eine grosse Gruppe vonProblemen vor sich zu haben, deren Bedeutung nicht nur eine geo-metrische ist, bei Euklid noch nicht vorausgesetzt werden darf.Immerhin würde die geometrische Form, in welcher jene Aufgabenbei Euklid erscheinen, nicht genügen, jedes algebraische Bewusstseinzu leugnen, denn jene Form werden wir, als Ueberbleibsel alterUebung, bei Schriftstellern und in Zeiten noch vorwalten sehen,
') Matthiessen, Grundzüge der antiken und modernen Algebra derliteralen Gleichungen S. 928—929 hat darauf hingewiesen. 2 ) Darauf dürfteChasles, Apercu historiijue sur Vorigine et le developpement des mcthodes engcometrie, 2 C edition. Paris, 1875, pag. 11, Note 2 oder deutsche Uebersetzungvon Sohncke. Halle, 1839, S. 9, Anmerkung 11 zuerst aufmerksam gemachthaben. Dieses Werk heisst bei uns künftig Chasles, Apercu hist.