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Geometrie auf die Wörter Parabel, Ellipse, Hyperbel und derenBedeutung eingehen, wir müssen jetzt diese Zusage einlösen. Wirnehmen dabei zur grösseren Einfachheit der Betrachtung an, dassdie Parallelogramme, von welchen in jenen drei Sätzen der Elementedie Rede ist, immer Rechtecke seien; bei schiefwinkligen Parallelo-grammen wird die Behandlung jener Aufgaben langwieriger, aberkeineswegs wesentlich schwieriger.
Es sei (Figur 42) A ß = p eine ge-gebene Länge senkrecht zu AS aufge-tragen; ist nun ferner AE gegeben, sogibt es immer einen einzigen Punkt A,welcher zur Bildung des RechteckesABZA führt, das einen bekanntenFlächenraum, nämlich den des Quad-rates über AT, oder über der derAT gleichen AE, besitzt. Wählt manumgekehrt bei bekanntem AB=p auf der Geraden AS einen be-liebigen Punkt A os gibt es senkrecht über und unter A die PunkteE, E ', welche das Quadrat von A E(A E") dem Rechtecke aus p undAA gleich werden lassen. Werden verschiedene Punkte A gewählt,so nimmt auch E verschiedene Lagen an, aber immer ist das an A Bangelegte, naQdßttkkopsvov, Rechteck dem Quadrate über AE genaugleich. Nennen wir nach heutigem Brauche AA — x, AE — y, sospricht sich die letzte Bemerkung symbolisch y 2 — px aus, d. h. dergeometrische Ort von E, wenn wir einen solchen durch das Fort-rücken von A auf AS erzeugt denken, ist eine Parabel.
Ausser dem AB=p sei (Figur 43) auf der dazu senkrechtenAS ein Stück A A = a be-kannt, so ist ABKsl eindurchaus gegebenes Recht-eck, welchem jedes andereRechteck ähnlich ist, dessenB gegenüberliegende Win-kelspitze II auf der Dia-gonale BA des erstge-nannten Rechtecks sich be-findet. Ist nun wieder einFlächenraum — das Qua-drat über AT oder AE — gegeben, so wird es einen einzigenPunkt H der BA geben, mit dessen Hilfe das Rechteck
AAII& gleich jenem Flächenraum wird, oder mit anderen Worten,welcher es möglich macht, dass das na. AB angelegte Rechteckausser dem Theile A& von AB, welchen es mit dem dem Quadratevon AT gleichen Flächenraume in Anspruch nimmt, noch ein Stück*
ß x
i'ig. 42.