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Kapitel XI11.

dien ®B übrig lässt, tlltinn , über welchem das dem HechteckeABK/1 ähnliche kleine Rechteck &BZII steht. Denken wir unsauch hier die Aufgabe umgekehrt, so wird zu jedem Punkte A einPunkt E senkrecht über ihm, ein Punkt E' senkrecht unter ihm ge-funden werden können, so dass das Quadrat von AE dem jetzt be-kannten Rechtecke AAH®, dessen Eckpunkt 11 auf der DiagonaleBA des vollständig gegebenen Rechtecks ABKA sich befindet, gleichsei. Auch hier ist der symbolische Ausdruck übersichtlicher. Istnämlich &B — a-p, wo a eine Zahl bedeutet, so muss 011— a■ asein, und die Fläche 0BZII ist = a 1 ■ ap. Mit Hülfe von AA — x,A Ei = y werden wir also schreiben y 2 — px — a 2 ■ ap, d. h. dergeometrische Ort von E, wenn wir einen solchen durch das Wechselnder Lage von A erzeugt denken, ist eine E11 ij»se.

Entsprechen (Figur 44) die griechischen sowohl als die lateini-

schen Buchstaben denen desvorigen Falles mit dem Unter-schiede, dass AA — «jetzt aufder jenseitigen Verlängerungvon AS aufgetragen, im Uebri-gen aber der Punkt 11 wiederso gewählt wird, dass er aufder verlängerten Diagonale ABdes Rechtecks ABKA aus denBeiten a undp liegt, dass also die

Rechtecke ABKA und ®BZ11einander ähnlich sind, und dasRechteck AAll0 denselbenFlächenraum besitzt, wie dasQuadrat über AT oder AE, so

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rig. u.

ist dabei die Forderung erfüllt, dass das an AB angelegte Rechteck, umden ihm zugewiesenen Flächenraum zu erlangen, über AB hinaus-reiclit, vn£Qßdl.Xet,, und zwar mit einem dem gegebenen RechteckeABKA ähnlichen Rechtecke. Es ist fast überflüssig aufs Neue her-vorzuheben, dass man auch diese Aufgabe so umzukehren im Standeist, dass nicht mehr II sondern E, beziehungsweise E', gesuchtwerden und die Gleichung y 2 — px -)- er ■ ap sich erfüllen soll. Dergeometrische Ort von E, wenn wir einen solchen durch Wechsel derLage von A erzeugt denken, ist eine Hyperbel.

Die Dinge, welche wir hier auseinaudergesetzt haben, lassen sichin grösster Kürze in die jetzt verständliche Ausdrucksweise zusammen-fassen, dass es drei geometrische Aufgaben der Flächenanlegunggebe, sämmtlick pythagoräischen Ursprunges, sämmtlich in Euklids Elementen aufbewahrt, bei deren Ausspruch die drei Zeitwörter Vor-kommen, welche den Namen der Parabel, Ellipse, Hyperbel zu