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Grunde liegen, iiei Umkehrung dieser Aufgaben, eine Umkehrungaber, welche in den euklidischen Elementen nicht vorkommt , würdenals geometrische Oerter eben jene Curven entstehen müssen.
Jetzt sind wir im Stande die Fragen genauer zu stellen, umderen Beantwortung willen wir grade hier auf die Aufgaben pytha-goreischer Flächenanlegung näher eiuzugehen veranlasst waren. HatEuklid , von dem wir wissen, dass er über Kegelschnitte schrieb, dieUmkehrung jener Aufgaben, für die der Natur der in ihnen vorkom-menden Curven nach in den Elementen kein Platz war, überhauptgekannt? Haben schon vor Euklid die Pythagoräer das Auftretendieser Curven und ihre Eigenschaften bemerkt, die freilich nicht inForm der ‘6 Gleichungen, deren wir uns bedienten, um kürzer seinzu dürfen, aber in einem geometrischen Wortlaute sehr wohl voneinem Griechen verstanden werden konnten? Hat Euklid erkannt,dass diese in der Ebene erzeugten Curven dieselben seien, welcheauf dem Mantel geschnittener Kegel entstehen?
Man hat diese Fragen verschiedentlich beantwortet. 1 ) Unsscheinen sie insgesainmt verneint werden zu müssen. Um mit derLetzten anzufangen, so hat Euklid die Identification der Curven vonden genannten Eigenschaften, die sich auf Flächenanlegung bezogen,mit Kegelschnitten keinenfalls gekannt, weil nach des Pappus’ aus-drücklichem Zeugnisse Apollonius erst diese doppelte Eutstehungs-weise entdeckte. 2 ) Die Bekanntschaft der Pythagoräer mit jenenCurven werden wir gleichfalls leugnen dürfen, wenn wir nur zu be-gründen vermögen, dass auch die erste Frage nicht zu bejahen ist,dass vielmehr,Euklid , als er die Elemente schrieb, von jener Um-kehr, von den dabei entstehenden krummen Linien, ganz abgesehenvon ihrer Uebereinstimmung mit Kegelschnitten, Nichts wusste. Dasscheint uns daraus zu schliessen gestattet, weil er sonst in den Ele-menten die drei Aufgaben, welche schon um ihres gemeinsamen Ur-sprungs bei den Pythagoräern willen bis zu einem gewissen Gradezusammengeliörteu, wenn sie eine weitere Zusammengehörigkeit da-durch au den Tag gelegt hätten, dass sie alle drei zu eigenthiimlichenCurven führten, muthmasslich nicht getrennt hätte.
Es ist wohl richtig, dass die Sätze 28. und 29. des VI. Bucheserst behandelt werden konnten, wo der Begriff der Aehnlichkeit be-kannt war; es ist eben so richtig, dass Satz 44. des I. Buches schonvor dem VI. Buche Verwerthung fand; aber Euklid war nicht derMann, dem eine kleine Umformung dieses 44. Satzes des I. Buches