Kapitel XIV.

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Unendliche nur mittelbar in seine Betrachtungen einbegreifend, be-gnügt sich mit der Suniwirung der endlichen geometrischen Reihe,

deren letztes Glied wir (iy nennen wollen. Deren Summe sei, sagter, nur um den dritten Theil des niedersten Gliedes kleiner als

d. h. also = -(j)". Daran schliesst sich der apagogische Theil

des Beweises, welchen wir wiederholt als Ersatz für TJnendlichkeits-betrachtungen haben eintreten sehen. Aus der Möglichkeit den Unter-schied zwischen dem Parabelabschnitte und ^ des ersteingezeichneten

Dreiecks kleiner als irgend eine angegebene Grösse werden zu lassen,folgt die doppelte Unmöglichkeit, dass der eine oder der andere Flächen-raum der grössere sei.

Was die beiden anderen Kegelschnitte, die Hyperbel und dieEllipse betrifft, so scheint Archimed der Ersteren besondere Aufmerk-samkeit nicht zugewandt zu haben. Dagegen hat er die Quadraturder Ellipse gefunden und zwischen den Untersuchungen über Ko-noide und Splniroide als Satz 5. und (5. eingeschaltet. ')

Die merkwürdigste uns erhaltene Schrift des Archimed über einenGegenstand der ebenen Geometrie ist das Buch von den Schnecken-linien, %sqI sXi'xcov. Die Schneckenlinie ist die erste krumme Linie,welche durch eine doppelte Gattung von Bewegungen und von be-wegten Elementen zugleich erzeugt worden ist. Die Quadratrix desllippias benutzte freilich auch eine drehende und eine fortschreitendeBewegung zu ihrer Entstehung, aber die bewegten Elemente sinddoch zwei gerade Linien, deren Durchschnittspunkt die genannte Curvezum Orte hat. Wir halten es durchaus nicht für unmöglich, dassArchimed, der bei seinen Studien mit der Quadratrix und deren An-wendungen bekannt geworden sein muss, grade durch die Abhand-lungen des llippias und des Dinostratus über ihre Ourve mehrfacheAnregung gewann, die bei einem Archimed zu einem Fortschritte fürdie Wissenschaft werden musste. Ein Fortschritt war es, wennArchimed nicht mehr wie Dinostratus einfach annahm, dass die Kreis-fläche einem rechtwinkligen Dreiecke von den Katheten r und V gleichsei, sondern diese Gleichheit streng bewies. Eine nicht geringereBereicherung der Wissenschaft war es, als er, anstatt die fortschreitendeBewegung einer Geraden mit der Drehung einer zweiten Geraden zuverbinden, wie Hippias es gethan hatte, darauf verfiel jene fort-schreitende Bewegung einem Punkte beizulegen. Die archimedischeDefinition sagt ausdrücklich 2 ): „Wenn eine gerade Linie in einer

') Archimed (ed. Torelli) 265—267 (ed. Nizze) 160—161. 2 j Archimed(ed. Torelli) 219, (ed. Nizze) 118.