Die übrigen Leistungen des Arcbimedes.

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Va 2 + 6

2 a + b

2a + b

2a + •.

und

y a 2 — b — a

h

2 a — b

2a — b2 a

Nun ist von vornherein zuzugeben, dass der Näherungswerth

j/2 = j/l + 1 = 1 + ‘ + t

2 +i

2 + ' • .

bei griechischen Schriftstellern mit aller Bestimmtheit auftritt, wiewir bei der näheren Betrachtung des Werkes des Theon von Smyrna im 21. Kapitel erkennen werden. Es ist ferner (S. 229) darauf hin-gewiesen worden, dass die Art und Weise, in welcher Euklid dengrössten gemeinschaftlichen Theiler zweier ganzer Zahlen aufsucht,einen vollständigen Kettenbruchalgoritlnnus darstellt, und dennochkönnen wir die Frage, wie eigentlich Archimed verfuhr, noch nichtals vollständig beantwortet erachten. Die Werthe, welche Archimedals angenäherte Quadratwurzeln benutzt, andere Werthe, die beispäteren griechischen Schriftstellern auftreten, entstehen nämlich,mit Ausnahme der von uns schon betonten j/2 und einer weiterenAusnahme, nicht aus den obigen Kettenbruchformeln, es sei denn,dass man sie auf ein Prokusteshett spannte, wie wir es nicht ver-antworten zu können glauben. Die erwähnten archimedischen Werthe

von l/3 z. B. entstehen nicht aus j/4 — 1=2-. , son-

' 4 — 1 7

4 — •.

dern die aufeinanderfolgenden Näherungsbrüche dieses Kettenbruches

sind 2

56 ’ 209

• ■ • , unter welchen wir hervorheben7 15

als die weitere Ausnahme, von welcher soeben die Rede war,

da dieser Werth für j/3 in der That geschichtlich nachweisbar bei

Griechen vorkommt, wie das 19. Kapitel uns lehren wird. Wir lassenalso die Frage nach der Art und Weise, in welcher Archimed seineQuadratwurzeln fand, offen, soviel zugestehend, dass bestimmte Bei-spiele auf Anwendung von Kettenbruchformeln bei anderen Schrift-stellern himveisen, die somit jener Formeln sich bedient haben werden,wenn auch natürlich nicht als Kettenbrüche, an deren Vorhandensein nicht zu denken ist, bevor eine Schreibweise der Brüche durchräumlich unterscheidbare Zähler und Nenner sich verbreitet hatte.

Es ist nur ein unglücklicher Zufall, dass wir über die Wurzel-

Cantok, (ieschichte der Alatheui. 1. 18