Kratogthcnes. Apollonius von Pergä.

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ein, dass Apollonias mittels dieser Vorschriften genau die gleichenLinien ziehen lässt, deren man noch heute bei Anwendung derMethoden der analytischen Geometrie sich bedient Es ist ein förm-liches Coordinatensystem gezeichnet, dessen Anfangspunkt auf demKegelschnitte selbst liegt, dessen Abscissenaxe ein Durchmesser desKegels, und dessen Ordinatenaxe die jenem Durchmesser eonjugirteBeriihrungslinie im Coordinatenanfangspunkte ist. Diese gegebenenElemente handhabt nun Apollonius in griechischer Weise. Errechnet natürlich nicht mit Formeln und Gleichungen, wie wir esthun, aber er verknüpft und verbindet Proportionen von Längen undvon Flächenräumen, welche nur einen anderen Ausdruck des in denGleichungen der Kegelschnitte enthaltenen Gedankens darstellen, umzu den gleichen Folgerungen zu gelangen. Läuft der Schnitt derSeite des Kegels parallel, so kann nur von einem Scheitel der Parabeldie Rede sein. Im entgegengesetzten Falle wird ausser dem einenSchenkel des Axendreiecks auch der zweite entweder selbst oder inseiner Verlängerung über die Spitze des Kegels hinaus durch denSchnitt getroffen, und so entsteht ein zweiter Scheitel der Curvebei der Ellipse, ein Scheitel der Gegencurve bei der Hyperbel. DieEntfernung der beiden Scheitel begrenzt die Länge des Durch-messers. In der Mitte zwischen beiden ist der Mittelpunkt derCurve, d. h. ein Punkt, in welchem alle durch ihn gezogenenSehnen halbirt sind. Mit dem Mittelpunkte tritt auch der Begriffdes dem ersten Durchmesser conjugirten Durchmessers auf, der einegleichfalls begrenzte Länge besitzt, wenn auch bei der Hyperbel dieBegrenzung nicht iiusserlich sichtbar ist. Zwei zu einander senk-rechte eonjugirte Durchmesser werden Axen genannt. Apollonius knüpft daran ferner Betrachtungen über die Berührungslinie anirgend einen Punkt eines Kegelschnittes und über die Vielheit vonPaaren conjugirter Durchmesser, welche möglich sind.

In dem II. Buche sind zunächst Eigenschaften der Asymptotender Hyperbel auseinandergesetzt, d. h. der Linien, welche denHyperbelarmen sich mehr und mehr nähern, ohne mit denselben zu-sammenzutreffen. Die geometrische Definition ist folgende: Manziehe an einen Hyperbelpunkt eine Berührungslinie, trage auf der-selben die Länge des ihr parallelen Durchmessers auf und verbindeden so gefundenen Punkt mit dem Mittelpunkt der Hyperbel gerad-linig, diese Gerade wird eine Asymptote sein. Aus den übrigenSätzen des II. Buches mag noch hervorgehoben werden, dass dieGerade, welche den Durchschnittspunkt zweier Berührungsliuien mitder Mitte der Berührungssehne verbindet, ein Durchmesser des Kegel-schnittes ist, sowie der andere, dass in jedem Kegelschnitte nur eineinziges senkrechtes Axenpaar existirt.

ln dem III. Buche bilden die ersten 44 Sätze einen besonderen

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