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freilich dahingestellt sein lassen müssen, ob diese an sich hoch-bedeutsame Allgemeinheit Apollomus oder dem Berichte des Pappuseigentluimlich ist.
Mit diesen Zahlen werden nun zweitens Multiplicationen aus-geführt, und dabei ist die Vorschrift gegeben die Multiplication irgendwelcher Zahlen auf die ihrer Wurzelzahlen, nv&pävsg, zurückzuführen.Das M ort Pythmen findet sich in einer arithmetischen Bedeutungschon bei Platon 1 ), ob aber genau in derselben wie bei Apollonius ist bei dem vielbestrittenen Sinne der platonischen Stelle nicht zuerhärten. Apollonius verstand unter der Wurzelzahl die Anzahl derZehner oder der Hunderter, die in einer nur aus Zehnern, beziehungs-weise nur aus Hundertern bestehenden Zahl enthalten sind. So ist5 der Pythmen von 50 wie von 500, 7 der Pythmen von 70 wie von7(10 u. s. w. Wurzelzahlen von Tausendern, Zehntausendern u. s. w.kommen wenigstens unter den mit einander zu vervielfachendenZahlen nicht vor. Der Grund dafür, wie für das Hervorheben deranderen Pytlimenes liegt in der uns bekannten griechischen alpha-betischen Bezeichnung der Zahlen (S. 100—107). Die moderne Zifiuru-schrift lässt sofort 3 als die Wurzelzahl von 30, von 300, von 3000erkennen. Ebenso war dem Griechen ein leicht ersichtlicher Zu-sammenhang zwischen y und y, nicht aber zwischen y und ä, zwischeny und t geboten, letzterer musste erst gezeigt werden. Vielleichthaben wir unseren Lesern durch die Wahl des AVortes zeigen einenHin weis gegeben, wie der Gedanke an die Pythmenes bei einemGriechen entstehen konnte: nicht wenn er die schriftliche Aufzeich-nung der Zahlen vor sich sah, wohl aber wenn er ihren Mortlauthörte. Der Aehnlichklang von tqs fg, rgiuxovra, TQiax o'tfiot sagteihm, was an y, X, r erst gezeigt werden musste, und so glaubenwir nicht irre zu gehen, wenn wir in den Pythmenes eine Fruchtdes mündlichen Rechenunterrichtes, nicht schriftlicher Erörterungerblicken. Sei dem, wie da wolle, jedenfalls vollzog Apollonius dieMultiplication nunmehr an den Pythmenes, und die Ordnung des jedes-maligen Produktes wird aus der Anzahl der Faktoren unter besondererBerücksichtigung, wie viele derselben Zehner, wie viele Hunderterwaren, abgeleitet. Eine Unterscheidung von zahlreichen Einzelfällen,die dabei Vorkommen, kann uns bei Apollonius am XV eiligsten über-raschen; wir bemerken sie auch nur mit der ausgesprochenen Absichtgelegentlich wieder daran zu erinnern.
Endlich müssen wir noch einer Arbeit des Apollonius überIrrationalgrössen gedenken, von welcher schwache Spuren ineiner arabischen 'Handschrift entdeckt worden sind. 2 ) M T ir haben
') Platon, Staat VIII, 546 C, cov fbrApiros nvQiirjv. *) Woepcke, Essaid’unc restitution de travaux perdus d’Apollonius sicr les quantitcs irratiunelles