Kapitel XVH.

erkennt man £0 = x und folglich %x = x + b. Nun ist f £ Katlietezweier rechtwinkliger Dreiecke yt,e und x£f. Das erstere liatyj=6als Hypotenuse, y s = a als zweite Katliete. Das zweite hat x£ = *-f- bals Hypotenuse, xs — y a als zweite Kathete. Mithin ist

b 2

a

= (# + b ) 2 — (y + a ) 2 °der x (x 2b) = y (y 2a) und

x y 2 a

y x + 2 b

y* _ y

yl 2b

Man kennt ferner denselben Bruch

1 ± 2 “

*4-26

x

ß.“

= ■■, = ,, wegen der Aehnlichkeit der Dreiecke ßxy und yxl.

Man weiss also auch ^ 2bx = y 2 . Diese Gleichung abgezogen

von dem vorher gefundenen x (x -(- 2b) = y (y 2a) lässt x 2 — 2ayzum Reste, und die Umstellung der beiden Gleichungen x* — 2ay,y 2 — 2b x in Proportionen liefert das verlangte 2a : x = x :y = y : 2b.Auflösung und Beweis sind gleichmässige Zeugnisse für den Scharf-sinn des Erfinders, der schon um des oben beschriebenen (Mnchoj'jpji-Zeichners willen einen rühmlichen Platz in der Geschichte der Mathe-matik verdient.

Lineal und Zirkel sollen als älteste Hilfsmittel geometrischenZeichnens von den Griechen auf den Neffen des Dädalus zurück-geführt worden sein 1 ), d. h. auf einen mythischen Ursprung. DieVorrichtungen des Platon und des Eratosthenes zur Würfel-verdoppelung beruhen auf Geschicklichkeit des Benutzers, der ver-suchsweise gewisse Lagenverhältnisse der Tlieile der Apparate hervor-briligen musste. Etwaige Mittel die Kegelschnitte zu zeichnen sind,wenn Menächmus wirklich dergleichen besass (S. 211), nicht zuunserer Kenntniss gelangt. Die Quadratrix, die Hippopede, die Spiralemechanisch zu zeichnen gab es kein Mittel. So ist die Muschelliniedes Nikomedes neben der Geraden und dem Kreise die älteste Linie,von deren mechanischer Construction in einem fortlaufenden Zugewir genügenden Bericht besitzen.

Dieselbe Muschellinie hat auch zur Auflösung einer anderenAufgabe, nämlich zur Dreitheilung des Winkels Anwendung gefunden.Soll man den W orten des Pappus Glauben schenken, so hätte diesersich jene Anwendung zuzuschreiben. 2 ) Dagegen sagt Proklus aus-drücklich, Nikomedes habe mit Hilfe der Muschellinie jeden Winkelin drei gleiche Tlieile zerlegt 3 ), und so glauben wir es gerechtfertigthier von dieser Anwendung zu reden.

AVir wissen, dass Arehimed (S. 257) die Dreitheilung des W’inkelsauf die Zeichnung einer Geraden von einem gegebenen Punkte auszurückführte, welche einen Kreis und eine Gerade so schneiden sollte,

') So behauptet Montucla, Histoire des Mathematiques 1, 104 ohneQuellenangabe. Woher mag die Angabe stammen? 2 ) Pappus IV, 27 (edit.Ilultsch) 21G. 3 ) Proklus (ed. Friedlein) 272.