Die Epigonen der grossen Mathematiker.
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isoperimetrische regelmässige Vieleck. 6. Zwei ähnliche gleich-schenklige Dreiecke auf ungleichen Grundlinien sind zusammen grösserals zwei auf den nämlichen Grundlinien gleichschenklige Dreiecke zu-sammen, welche unter sich unähnlich sind, aber mit jenen ähnlichengleichen Gesammtumfang haben. 7. Unter den isoperimetrischen»lecken hat das regelmässige den grössten Inhalt. 14. Unter denKreisabschnitten, welche gleich grosse Bogen haben, ist der Halbkreisder grösste. Im Raume hat die Kugel bei gleicher Oberfläche dengrössten Inhalt. Die theoretische Bedeutsamkeit dieser Sätze, welcheeinen durchaus neuen geometrischen Gegenstand behandeln, der nachrückwärts nur an die Vielecke wachsender Seitenzahl in der Kreis-rechnung des Archimed und an die Lehre von den grössten undkleinsten Werthen bei Apollonius anknüpft, liegt auf der Hand, undes. ist nur um so mehr zu bedauern, dass unser Wissen von ihremErfinder so dürftig ist.
Wir nennen weiter immer noch auf blosse Wahrscheinlichkeits-gründe uns stützend im Jahrhunderte zwischen 200und 100: Hypsiklesvon Alexandria . Seine Leistungen liegen auf verschiedenen Ge-bieten. Die Handschriften des Euklid enthalten mehrfach nach den13 Büchern der Elemente noch zwei Bücher stereometrischen Inhaltes,welche als XIV. und XV. Buch der Elemente, oder als die beiden Bücherdes Hypsikles von den regelmässigen Körpern benannt zuwerden pflegen. Neuere Untersuchungen 1 ) haben einen solchen Gegen-satz im Werth und Inhalt der beiden Bücher aufgedeckt, dass sienothwendi" verschiedenen Verfassern überwiesen werden müssen, undzwar das erste dem Hypsikles, das zweite einem mehrere Jahrhunderten. Chr. lebenden Schriftsteller. Wir haben es demgemäss hier mitdem ersten Buch allein zu thuu, welches aus folgenden sechs Sätzenüber die regelmässigen Körper' 2 ) besteht: 1. Die vom Mittelpunkteines Kreises auf die Seite des eingeschriebenen regelmässigen Fünf-ecks gefällte Senkrechte ist die halbe Suitime des Halbmessers undder Seite des eingeschriebenen regelmässigen Zehnecks. 2. EinerleiKreis fasst des in einerlei Kugel beschriebenen Dodekaeders fünfseitigeund Ikosaeders dreiseitige Grenzfläche. 3. Die Oberfläche des Dode-kaeders sowie des Ikosaeders sind beide dem 30fachen Rechtecke gleich,welches aus der Seite des Körpers und der ans dem Mittelpunkte einerGrenzfläche auf die Seite gefällten Senkrechten gebildet wird. 4. Die
') Der Erste, welcher die Verschiedenheit beider Bücher erörternd sie zweiverschiedenen Autoren beilegte, war Friedlein im Bulletino Boncorapagni1873, 493 -529. Ihm folgte Th. H. Martin ebenda 1874, 263—266. *) Ge-
wöhnlich werden 7 Sätze angenommen, aber der 7. Satz (Zwei nach ste-tiger Proportion geschnittene Gerade verhalten sich wie ihre grösserenAbschnitte) ist offenbar kein Satz für sich, sondern nur Theil des Beweises des6. Satzes.