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Kapitel XVII.

dem Schriftchen. ln moderner Aussprache sagen sie, dass in einerarithmetischen Reihe von grader Gliederzahl die Summe derzweiten ilälfte der Glieder die der ersten Hälfte um ein Vielfachesdes Quadrates der halben Gliederzahl übertreffe 1 ), dass die Summeeiner arithmetischen Reihe bei ungerader Gliederzahl gleich demProdukte der Gliederzahl in das mittlere Glied, bei grader Gliederzahlgleich dem Produkte der halben Gliederzahl in die Summe der beidenmittleren Glieder sei.

Bei so elementaren Kenntnissen blieb aber Hypsikles nicht stehen.Vielmehr war ihm die allgemeine Definition der Vieleckszahlenbekannt, welche er in die Worte kleidete: ,,Wenn beliebig viele Zahlenvon der Einheit an von gleichem Unterschiede sind, und dieser Unter-schied 1 ist, so ist die Summe eine dreieckige Zahl; ist der Unter-schied 2, so ist die Summe eine viereckige Zahl, für 3 eine fünf-eckige; die Anzahl ihrer Winkel ist um 2 grösser als der Unterschied,und ihre Seiten sind der Anzahl der vorgelegten Zahlen gleich."So berichtet Diophant im 8. Satze seiner Schrift über die Polygoual-zahlen, von welcher im 23. Kapitel die Rede sein wird. Diophantnennt als seine Quelle: Hypsikles iv oqoj. Die Uebersetzer dürftenmit Recht diesen Ausdruck deutsch durch „in einer Definition“ über-tragen haben, da opog neben der Bedeutung Grenze (lateinisch:terminus oder limes) oder Reihenglied unzweifelhaft auch die Be-deutung der Begrenzung eines Begriffes, d. h. einer Definition be-sitzt. Bei welcher Gelegenheit Hypsikles sich jener Definition derVieleckszahlen bedient haben mag, wissen wir durchaus nicht.

Wir schliessen dieses Kapitel mit der Nennung des einzigenSchriftstellers, für dessen Leben etwas genauere Angaben bekanntsind. Wir meinen Hipparch, der zwischen 161 und 126 v. dir.astronomische Beobachtungen anstellte. 5 ) Er ist in Nicäa in Bithynien geboren. Er beobachtete auf der Insel Rhodos , vielleicht auch inAlexandria . Seine hervorragendsten Verdienste rühmt die Geschichteder Astronomie, welcher er als Schöpfer einer wissenschaftlichenSternkunde gilt. Er war aber auch der Urheber eines Theiles derWissenschaft, welcher das Grenzgebiet zwischen Astronomie undGeometrie bildet, der Trigonometrie, und berechnete eine Sehnen -tafel. 3 ) Leider wissen wir von dieser Leistung nur durch ein be-richtendes Wort eines späten Schriftstellers, des Theon von Alexan-dria , der um 365 schrieb, und können also dieses Kapitel griechi-scher Mathematik nicht in seinen Ursprüngen verfolgen. Jedenfalls

') Ist a das erste Glied, d die Differenz, 2n die Gliederzahl, so sind die

, ., _ , (3 n — 1) n d (n — 1) tui ,, , , . ,

beiden Summen n a + und n a-+- —■ deren Unterschied

(Im* ist. 2 ) Wolf, Geschichte der Astronomie S. 45, Anmerkung 1. 3 ) Eben-

da s. m.