Kapitel XVIII.

:32ti

des Kreises mit dem Halbmesser tj e als gleich dem Doppelten einesDreiecks mit diesem Halbmesser als Höbe und dem halben Umfangvon cc ß y oder mit y 0 als Grundlinie (sofern ß 0 == a d genommenist). Nun wird die Hilfsconstruction rj X senkrecht zu tjy, ßX senk-recht zu ß y und yX vollzogen nebst den Halbmessern rj d, rjs, t] £,des eingeschriebenen Kreises und den Verbindungsgeraden tja, rj ß,t] y seines Mittelpunktes mit den Endpunkten des Dreiecks. Weil<^-ytjX = yßX = 90°, muss y X der Durchmesser des umschrie-benen Kreises für die beiden Dreiecke y tj X und y ß X sein, d. h.y rj ß X ist ein Sehnenviereck und

^ytjß + yXß= 180".

Aber y t] ß = y tj £ + s t] ß = ^ (j f + f ^ ä , und addirt man dazu noch

a t] 6 — und berücksichtigt + = 360", so zeigt

sich auch ^Cy t ]ß~h (cr l^ = 180",

folglich ^ y X ß — a tj d-

ferner y ß X = 90" = a tj d, folglich sind die Dreiecke ß y X, d a tjähnlich und ßy : ßX — da: dt] oder, was dasselbe ist, = ß 0 : tj £, somit

yß__ß_X Aber aus der leicht ersichtlichen Aehnlichkeit der Dreiecke(1 6 ij £

ßXx, stjx folgt auch — = —, mithin ^ Durch Addition

der Einheit auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens folgt:

° ß 0 £ X

oder I 02 = 7 - ' E13 oder = yE und daraus (y 0 ■ tj ef

y 0 • ß 0 y £ ■ £ x -y 0 • ß 6 r/ t 3 ' '

— ya ■ tß ■ ßQ ■ yQ. Nun war der Flächeninhalt des Dreiecks aßy(als des doppelten des Dreiecks y rj 0) = 2 • y 6 n ' = y 0 • tj £ und

somit ist, wenn man die Fläche des Dreiecks aßy durch z/ bezeichnet,z/ = j/y s ■ £ß ■ ß 0 • y 0 . Setzt man endlich aß — c, ay = b, ßy — a,so lassen die Faktoren unter dem Wurzelzeichen sich leicht anders

, i i -i , . -,/a+b + c a + b — c a — b + c — a + b + c

ordnen ynd schreiben, so dass /I = y 2 • — 2 - 2

entsteht, eben die Formel, die Herons Namen führt. Ob sie ihm an-gehört, d. h. ob Heron hier eine eigene oder fremde Erfindung mit-tlieilt, ist nicht vollständig festzustellen. Heron ist, wie wir sahen,kein Freund von Citaten, und so wäre es möglich, dass er einen zuseiner Zeit schon anderweitig bekannten Satz hier vortrüge. DenBeweis dürfen wir wohl mit grösserer Sicherheit sein Eigenthumnennen, weil sonst kein Grund abzusehen wäre, warum er ihn mit-theilte. Da überdies Heron in jeder Beziehung der Mann ist, demmau die Erfindung auch des Satzes füglich Zutrauen darf, so ist undbleibt uns die Formel die heronische, so lange ein früherer Erfindernicht wahrscheinlich gemacht wird.