Geometrie und Trigonometrie bis zu I’tolemiius.
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mit excentrischem Scheitelpunkte aber auf gleichen Bügen aufstehendin einer Handschrift des astronomischen Theiles des Werkes Tlieonsvon Smyrna aufgefunden worden ist. 1 ) Könnte man anuelnnen,Theon habe selbst den Serenus benutzt, so würde durch die bekannteLebenszeit dieses Schriftstellers eine untere Zeitgrenze mit demJahre 130 etwa angegeben sein; doch wäre jene Annahme durchauswillkürlich. Man hat vielmehr, wie bemerkt worden ist, wohl nuran eine Vereinigung ähnlicher Hinge in einer Handschrift zu denken,ohne dass festgestellt wäre, wer es gewesen sein mag, der von jenemSatze aus den Lemmen des Serenus eine astronomische Anwen-dung machte.
Festen chronologischen Boden unter den Füssen gewinnen wirmit Menelaus von Alexandria . Zwei in llom angestellte Be-obachtungen dieses Astronomen aus dem ersten RegierungsjahreTrajans, d. h. aus dem Jahre 98 n. dir., sind im Almageste er-halten, 5 ) und so kann über die Zeit der wissenschaftlichen Tlüitig-keit des Menelaus kein Zweifel stattfinden.
Er verfasste 6 Bücher über die Berechnung der Sehnen,welche aber gleich dem ähnlichen Werke seines Vorgängers Ilipparchverloren gegangen sind. Seine 3 Bücher der Sphiirik sind imgriechischen Originaltexte gleichfalls nicht bekannt, doch sind ein-ander gegenseitig bestätigende arabische und hebräische Uebersetzungenaufgefunden worden, nach welchen weitere lateinische Uebersetzungensich lierstellen Hessen , welche mehrfach herausgegeben sind. 3 ) DieSplnirik des Menelaus ist im Gegensätze zu der des Theodosius eineArt von sphärischer Trigonometrie. In ihr finden sich schon dieSätze, dass in jedem sphärischen Dreiecke die Summe der drei Seitenkleiner als ein Grössterkreis der Kugel, die Summe der drei Winkelgrösser als zwei Rechte sein muss; dass gleichen Seiten desselbensphärischen Dreiecks gleiche, ungleichen Seiten ungleiche Winkel,und zwar den grösseren Seiten die grösseren Winkel gegenüberstehen.In ihr finden sich die hauptsächlichsten Congruenzsätze sphärischerDreiecke, der Satz, dass die drei Hauptbögen, welche die Winkeleines sphärischen Dreiecks halbiren, sich in einem gemeinschaftlichenDurchschnittspunkte treffen, sowie der Satz, dass der Hauptbogen,welcher einen Winkel eines sphärischen Dreiecks halbirt, die demWinkel gegenüberliegende Seite so schneidet, dass die Sehnen derverdoppelten Abschnitte im gleichen Verhältnisse stehen, wie dieSehnen der gleichfalls verdoppelten jeweils anliegenden Seiten. Da-zu kommen die Sätze über Transversalen im ebenen und im sphärischen
') Theonis Smyrnaei liber de astronomia ed. Th. II. Martin. Paris , 1849,pag. 340 und Martins Bemerkungen pag. 79—81. 2 ) 1‘lolemaei Almagestum
VII, 3 (ed. Halma ) T. II, pag. 25 und 27. 3 ) Die beste Uebersetzung von