Kapitel XX.
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und Menelaus in 6 Büchern abgehandelt, man müsse aber erstaunen,wie bequem Ptolemäus mit Hilfe weniger und leichter Sätze ihreWerthe gefunden habe. Den Ausgangspunkt bildet der sogenannteptolemäische Lehrsatz vom Sehnen vier e ck,') dass das Pro-dukt der Diagonalen der Summe der Produkte je zweier einandergegenüberliegender Seiten gleich sei, und neben diesem Satze dieKenntniss einiger ganz bestimmter Sehnen, nämlich der Seiten derregelmässigen dem Kreise eingeschriebenen Dreiecke, Vierecke, Fünf-ecke, Sechsecke, Zehnecke als der Sehnen von Bögen von 120, von90, von 72, von 00, von 36 Bogengraden jedesmal in Theilen desDurchmessers, beziehungsweise des Halbmessers des Kreises dar-gestellt.
Nun folgt aber aus den Sehnen zweier Bögen die Sehne ihresUnterschiedes, aus der Sehne eines Bogens die Sehne des halb sogrossen Bogens, aus den Sehnen zweier Bögen die Sehne ihrerSumme.
Die Beweise der betreffenden Sätze bestehen dem Sinne nach inFolgendem. Aus (Figur G2) aß und ay soll ßy gefunden werden.
Man zieht von a aus den Durchmesser ad,der also 120 Theile enthält und vollendetdas Sehnenviereck ußyd nebst seinen Dia-gonalen. Nun ist yd = j/V20 2 — ay 2 , ßä= y 120 2 — «/3 2 , ay.ßä = aä.ßy-\-aß.yäoder ay .}/ 120 2 — aß 2 = 120 . ßy -(- aß .}/ 120 2 — aß 2 , woraus ß y gefunden werdenkann.
Soll ferner (Figur 63) aus ßy dieSehne yd des halb so grossen Bogens er-mittelt werden, so zieht man den Durch-messer ay, ausserdem aß, ad, ßd,schneidet auf dem Durchmesser ay dasStück as — aß ab, zieht äs und end-lich dg senkrecht zum Durchmesser ay.Die Dreiecke ßad, saä sind nun congruent, weil die beiden gleichenin a ihre gemeinschaftliche Spitze besitzenden Winkel von gleichenSeiten gebildet werden. Demgemäss sind auch die dritten Seitengleich ßd = d s, und da überdies ßÖ = äy als Sehnen gleicher Bögen,so ist das Dreieck dsy gleichschenklig, und die Senkrechte dg auf
Fig. 62.
Fig. 63.
dessen Grundlinie lialbirt dieselbe d. h. es ist gy = = ay
__ u ß __ ßo — JL y 120 2 — ßy 2 . Ferner sind die beiden reclit-