Geometrie und Trigonometrie bis zu Ptolemiius.

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winkligen einen spitzen Winkel gemeinschaftlich enthaltenden Drei-ecke yd?, yad ähnlich, also t,y : yd = yö : ay und yd 2 = ay , g y

= 120 [60 — 4- j/120- — ßy 2 ], woraus endlich yd sich ergibt.

Die letzte Aufgabe ist die (Figur 64)aus den Sehnen aß und ßy die Sehne ay zufinden. Zu diesem Zwecke werden die Durch-messer ad und ße ausserdem ßd, dy, yeund de gezogen, welche letztere wegen derCongruenz der Dreiecke aßt,, de£ der aßgleich sein muss. Der auf das Sehnen-viereck ßyde angewandte ptolemäische Lehr-satz liefert nunmehr ßä . y e = ßy . de

-f- ße .yd oder|/120 2 — aß 2 .= ßy . aß + 120 . ]/ 120 2 —

Fig. G4.

d

V 120 2 - ßy 2yd 2 , wodurch yd bestimmt ist.

Zu den als bekannt vorausgesetzten Sehnen zurückkehrend erhältdemnach Ftolemäus aus den Sehnen von 72° und von 60" die von72°—60° oder von 12°. Wiederholte Halbirung des Bogens lehrt als-

dann die Sehne von 6°, von 3 U , von 1

1 o 30

; , von - r kennen.

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Ptolemäus

beabsichtigt aber die Sehnen der um je Grad steigenden Bögen in

eine Tabelle zu vereinigen, er bedarf also dazu in erster Linie der Kennt-niss der Sehne von 1°, und dazu verhilft ihm ein Vergleichungssatz vonhöchster Eleganz. Es seien (Figur 65) zweiBögen aß, ßy desselben Kreises gegeben,deren letzterer grösser als der erstere, undes seien die Sehnen der einzelnen Bögensowie der Summe der beiden gezogen, wo-bei wir zur Unterscheidung der Bögen undSehnen jene z. B. als arcus aß, diese alschorda aß oder als aß schlechtweg bezeichnenwollen. Der Winkel bei ß werde durchdie ßä halbirt; da und dy werden gezogen,auch dt; senkrecht zu ay, und mit d e d. li.mit der Entfernung des Punktes d vom Durchschnitte der ßä mitder ay als Halbmesser und mit d als Mittelpunkt w r ird ein Kreis-bogen beschrieben, der einestheils die da anderntheils die dt,, selbstoder in ihrer Verlängerung, in t] und 0 schneidet. Nach dem be-kannten Satze von der Halbirung eines Dreieckswdnkels ist aß : ßy= ue : ey, aber aß < ßy, also auch ae < ey d. h. ae ist wenigerals die Hälfte von ay, e fällt zwischen a und t, und es ist demzu-zufolge da > de > d£, woraus weiter folgt, dass r\ auf da selbst,0 auf der Verlängerung von dt, liegen muss. Dann ist aber der

C’antok, Geschichte der Mathem. I. 23

d

Fig. 65.