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Kapitel XX.
Kreissektor ö sr\ kleiner als das Dreieck deu, und der Kreissektor<Ü£0 grösser als das Dreieck Öet,. Aus diesen Vergleichungen folgendie beiden anderen:
Dreieck Ss£ Sektor ösQ , Dreieck deg Dreieck ästSektor äsrj ^ Sektor Ösrj UQ Sektor äsr] Dreieck äsa’
aus deren Verbindung hervorgeht, dass
Dreieck JsJ Sektor äsODreieck äsa^ Sektor d'f7j
Dreieck äst st , Sektor äsQ arcus eO
Aber .. ,—. =-■- und Q , . - —-
Dreieck dsa sei beKtord£7)
arcus srj
Ungleichung heisst also auch £ ? < '^fUl Sfe00 sa arcus £ q
Die gewonneneWird beiderseits die
ct y
Einheit hinzugefügt und alsdann verdoppelt, so entsteht ~
2 arcus rj 6 . vermindert man wieder beiderseits um die Ein-
arcus sri
, y £ , arcus 0s + arcus 617
heit und gewinnt damit —- <- - - - ■ Da aber weiter
0 us arcus rjs
V - e = ßY a und arCUS e £ + arcus e, = = arcus fU igt endlich
us uß arcus rj s ßäu arcus aß
Chorda ßy arcus ßychorda aß ^ arcus aß
d. h. der Quotient der grösseren Sehne durch die kleinereSehne ist kleiner als der Quotient der von deu Sehnenbespannten Bögen. Werden nun Sehne und Bogen von 1° mit
denen von 1 und von verglichen, so ergibt sich
s«
chorda 1°chorda |°
arcus 1°^ arcus f"
1 chorda 11°UDd chorda 1»
<
arcus 1|°arcus 1°
Aber
arcuB 1 0 4
arcus 4° 8 ’
arcus li° 3 j , ■ 1 , 2 , ,
= - und somit leicht — chordaarcus 1° 2 3
< chorda 1° < |-
chorda ■4
Die beiden äusseren Werthe heissen
nun bis in den Sekunden übereinstimmend 1.2'. 50", und somitwird mit einer Genauigkeit, welche die Sekunden noch zuverlässigerscheinen lässt, auch der dazwischenliegende Werth chorda 1°= 1.2'. 50" sein müssen. Nun ist die Sehne von 1° und die
von 1 , folglich auch die Sehne von * ° bekannt, und die Sehnen
aller um je wachsenden Bögen von 0 bis 180° einschliesslichkönnen gefunden werden.
Sie alle hat Ptolemäus in seiner Sehnentafel vereinigt, grössereBögen ausschliessend. Er thut dieses nicht etwa, weil die Sehne,die einen Bogen bespannt, der grösser als der Halbkreis ist, zugleichauch zu einem anderen kleineren Bogen gehört, der den ersten zueinem ganzen Kreise ergänzt, sondern weil Bögen, die grösser als derHalbkreis sind, bei ihm überhaupt nicht Vorkommen. Wenigstens