Geometrie und Trigonometrie bis zu Ptolemäus . 355

führt er diesen letzten Grund ausdrücklich an, 1 ) während wir denerstgenannten nicht bei ihm finden. Für die Auffindung der Sehnenvon Bögen, welche zwischen zwei in der Tabelle befindlichen ent-halten sind, sorgt eine weitere Kolumne der Proportionaltheile oder,wie Ptolemäus sagt, der Sechzigstel, i^tjxoatcäv, indem angenommenwird, dass die Veränderung der Sehnen der Bögen innerhalb der

tabellarischen Angabe von zu j° oder von 30' zu 30' der Ver-änderung der Bögen proportional sei. So steht beispielsweise nebendem Bogen 20° 0’ die Cliorde 20.50 . 16, neben dem Bogen 20° 30'die Cliorde 21 . 21 . 12. Der Zunahme des Bogens um 30’ entsprichteine Zunahme der Cliorde um 0.30.56, und findet diese im Ver-hältnisse der Bogenzunahme statt, so ist der mittlere Zuwachs derCliorde 0 . 1 . 1 . 52 für jede Minute, um welche der Bogen zwischen20° und 20" 30' zunimmt. Diese Zahl 0 . 1 . 1 . 52 steht denn auchin der dritten Kolumne neben den Zahlen 20 . 0 der ersten,20.50 . 16 der zweiten Kolumne. Ein Beweis für diese angenommeneProportionalität in engem Bereiche ist dagegen nicht vorhanden. 2 )

War das 9. Kapitel der Entwertung der Sehnentafel gewidmet,so ist im 11. Kapitel die Trigonometrie, und zwar hauptsächlichdie sphärische Trigonometrie enthalten, sich aufbauend auf den Sätzendes Menelaus, die hier ohne Quellenangabe Vorkommen, 3 ) so dass man sielange für Erfindungen des Ptolemäus hielt, bis im XVII. S. PaterMersenne sie ihrem Urheber zurückerstattete. 4 ) Der Hauptsatz derebenen Trigonometrie, dass im Dreiecke zwei Seiten sich ver-halten wie die Sehnen der doppelten Bögen, welche die den Seiteiigegenüberliegenden Winkel messen, ist aller-dings nicht deutlich ausgesprochen, sondernnur in anderen Sätzen inhaltlich mit enthalten.

Vollständiger sind die Sätze der sphäri-schen Trigonometrie angegeben. DemWortlaute, aber nicht dem Gedanken nachmodernisirt lautet seine Darstellung etwafolgendermassen. 5 ) Wenn Ptolemäus (Figur 66)das bei U rechtwinklige Dreieck AHliberechnen will, so construirt er den Pol 1 Jvon A H , dann den zu A als Pol ge-

’) Almagest I, 11 (edit. Halma) I, pag. 51: xal int tü>v t|ij g Ss lattßa-vofiiviov ntQttptgtiwv rö otiotov vnanoviad'co (sc. iläaaova Aval tjantvttXto v).

2 ) Ideler 1. c. S. 23 hat die Richtigkeit der ptolemäischen Zahlen geprüft und

hat gefunden, dass sie auf 5 Decimalstellen genau sind. 3 ) Almagest (ed.Halma) I, pag. 50 der Satz für das ebene Dreieck, pag. 55 der Satz für das

sphärische Dreieck. J ) Vergl. Chasles, Apergu hist. 293, Deutsch 289. Chaslesselbst ist geneigt die Sätze auch dem Menelaus wieder abzusprechen und hältEuklid für den Erfinder, in dessen Porismen sie vorgekommen seien. s ) Wir

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Fig. CG.