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Kapitel XX.

hörigen Aequator BB'H', der in B', H' die verlängerten SeitenA B, AH schneidet. Somit wird B'H' = a und alle in der Figurvorkommenden Bögen lassen sich durch a, b, h, a und deren Comple-mente ausdriicken. Nun kann der Satz des Menelaus viermal ange-wandt werden, nämlich auf die Dreiecke ABll , FBH , BH1T ,AB H. Die zugehörigen Transversalen sind in gleicher OrdnungI’B'li ', AHH, B'BA, BBH, und die Anwendung des Satzes vonden 6 Grössen liefert die vier Gleichungen:

1. cos h = cos a . cos b oder cos h = cos a . cos b

2. sin a = sin a . sin h oder sin a = sin h . sin a

4. cos a . sin b . sin a — cos a . sin a oder tng r< = sin b . tng a

4. sin b . cos h = cos b . cos u . 3in h oder tng b — cos a . tng h

Die Beweise hat Ptolemäus nicht immer gegeben und die Commen-tatoren haben nicht unterlassen hier die sehr nöthigen Ergänzungeneintreten zu lassen.')

Die Trigonometrie als Kapitel des I. Buches des Almagestes be-handelt entspricht vollständig dem, was wir (S. 336) schon andeuteten.Die Trigonometrie ist wesentlich zu astronomischen Zwecken ent-standen, so dass die sphärische Trigonometrie nothwendiger und dem-zufolge auch früher ausgebildet war als die ebene Trigonometrie.Eine ebene Trigonometrie im Dienste der theoretischen Planimetrieist dem Alterthume eben so fremd wie eine solche im Dienste feld-messerischer Untersuchungen, wenn man von der einzigen Ausnahmeder Zahlenformeln Herons für den Flächeninhalt regelmässiger Viel-ecke absieht. Die Thatsache mag uns beim ersten Anblicke auffallen,eine Erklärung derselben scheint nicht schwer zu sein. Trigono-metrische Ausdrücke als Durchgangspunkte, von welchen man wiederzu anderen Grössengattungen gelangen will, sind nicht denkbar, solange noch keine ausgebildete Zeichensprache der Mathematik vor-handen ist. Bis dahin liefern trigonometrische Ausdrücke mit Hilfevon Sehnentafeln in Zahlen umgesetzt nur näherungsweise richtigeErgebnisse. Der wissenschaftliche Geometer war aber abgeneigt sichmit einer blossen Annäherung, und sei sie noch so nahe, zufriedenzu geben. Der unwissenschaftliche Feldmesser war abgeneigt dasWissen sich zu erwerben, welches zur Erlernung des trigonometrischenRechnens unerlässlich war. So überliessen beide die missachtetenoder gescheuten Verfahruugsweisen der Trigonometrie dem Astronomen,der weniger heikel als der Eine, weniger denkfaul als der Andereder guten Ergebnisse dieser Näherungsmethoden sich freute undbediente.

entnehmen diese Zusammenfassung fast wörtlich aus Hankel S. 285—286, An-merkung, da wir es kaum für möglich halten eine bündigere und übersicht-lichere Darstellung zu liefern. ') Theon Alexandrinus (ed. Halma ) I,pag. 243 sqq.