Kapitel XX.

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Verhältnisse auf der Kugel beibelialten werden sollen. VerschiedeneProjektionsmethoden werden hier gelehrt, mit welchen Ptolemäusauch in zwei anderen Schriften, dem Planisphaerium und demAnalemma, sich beschäftigt hat. 1 ) Ptolemäus benutzt vorzüglichdie Projektion, bei welcher das Auge als im Pole befindlich gedachtwird und die Aequatorialebene die Zeichnungsebene bildet, die Pro-jektion also, welcher Aiguillon 1613 den Namen der stereographi-"sehen beigelegt hat.

Schriften des Ptolemäus über die Harmonielehre, d. h. über dieVerhältnisse, welche, wie man heute sagen würde, zwischen denSchwinguugszahlen der einzelnen Töne stattfinden, und über Optik 2 )begnügen wir uns zu nennen, da sie der Geschichte der Mathematiknicht angehören. Von Arbeiten über Mechanik wissen wir nur über-haupt, dass sie vorhanden waren; Pappus erwähnt ihrer in seinemVIII. Buche, Eutokius in seinen Erläuterungen zu der archimedischenSchrift über das Gleichgewicht.

Dagegen hat uns Proklus Auszüge aus einem reiugeoruetrischenBuche des Ptolemäus überliefert, 3 ) welche verdienen, dass wir beiihnen verweilen. Aus diesen Auszügen geht hervor, dass Ptolemäus jedenfalls der erste Mathematiker war, von welchem bekannt gewor-den ist, dass er das sogenannte 11. Axiom des Euklid nicht alsselbstverständlich betrachtet wissen wollte, dass er die zahllose Reihederer eröffnet hat, welche durch Versuche die Parallelentheorie zubeweisen vergeblich sich abmühten, bis im XIX. S. der unendlichviel kühnere Versuch auftauchte, die Parallelentheorie als anfechtbarzu erklären und eine Geometrie zu schaffen, welche von ihr absehendals autieuklidische oder absolute Geometrie Geltung beansprucht.

Ptolemäus beweist zunächst, dassGerade, welche durch eine Trans-versale so geschnitten werden, dassdie Winkel auf derselben Seite derx Transversalen und auf eutsresien-gesetzten Seiten der Geschnittenensich zu zwei Rechten ergänzen,parallel sein müssen, d. h. sich nichttreffen. (Fig. 67.) Gesetzt a ß undy d schnitten sich in x, währenddie Winkel ß £ r] und d rj g sich zu zwei Rechten ergänzen. Wegen

Fig. 67.

') Diese Abhandlungen hat Commandinus 1558 und 1562 übersetzt undherausgegeben. 2 ) Vergl. Poudra, Histoire de la perspective. Paris , 1864.pag. 28—32. Eine früher als Ptolemäus, De speculis bezeiehnete Katoptrikist nicht von Ptolemäus , sondern von Heron. S. Agrimensoren 18—19. 3 ) Prok-lus (ed. Priedlein) 362—368. Vergl. L. Majer, Proklos über die Petita undAxiomata bei Euklid. Tübingen , Gymnasialprogramm 1875.