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des Satzes über Nebenwinkel werden auch die Winkel tc £ rj und y »; £sich zu zwei Rechten ergänzen, und folglich wird auch auf der Seite,wo a und y steht, ein Durchschnitt der beiden Geraden in A statt-finden. Die Geraden « ß und y ö schneiden sich also zweimal in xund A ohne zusammenzufallen, d. li. sie scliliessen einen Raum ein,was nicht möglich ist. So wenig gegen diesen Beweis sich einwen-den lässt, so wenig zutreffend ist der Beweis, den Ptolemäus von demumgekehrten Satze liefert, dass bei wirklich vorausgesetztem Paral-lelismusse die entsprechenden Winkel auf derselben Seite der Trans-versalen sich zu zwei Rechten ergänzen müssen. Die beiden a£ undy >i, sagt er nämlich, sind nicht weniger parallel als die £ ß und jj d.Wäre also die Summe der Winkel ß^r\ und örjt, mehr oder wenigerals zwei Rechte, so müsste genau das Gleiche für die Summe derWinkel «£?j und yrjt, gelten. Die 4 Winkel zusammen müssten alsosei es nun mehr, sei es weniger als vier Rechte betragen, wüihrendsie als zwei Paar Nebenwinkel genau vier Rechten gleich sind.
Wie Ptolemäus die euklidischen Elemente in der Theorie derParallellinien für ergänzungsbedürftig hielt, so scheint es damals auchmit anderen Büchern des darum nicht minder bewunderten Werkesgegangen zu sein. Wir bringen in Erinnerung (S. 300), dass imII. S. der byzantinische Astronom Vettius Valens einen aus2 Büchern bestehenden Commentar zum X. Buche der euklidischenElemente verfasste, dessen arabische Uebersetzung sich möglicherweiseerhalten hat.
Die Schriftsteller, mit welchen wir in diesem Kapitel bekanntgeworden sind, zeigen uns eine gewisse Gleichartigkeit unter sich undmit denjenigen, welche in dem 17. Kapitel besprochen wurden.Wieder haben wir es mit Geometern zu thun, welche der Curven-lehre ihre Aufmerksamkeit zuwandten, welche die Stereometrie aus-bildeten von allen Körpern hauptsächlich die Kugel beachtend, welcheder rechnenden Geometrie die Vollendung zur Trigonometrie gaben,indem sie gewisse Linien berechneten und tabellarisch zusammen-stellten, welche zu gewissen Winkeln gehörten. Die Sehnentabelleist — wir können uns nicht versagen unsere Augen so weit nachrückwärts zu werfen — die für lange Zeit letzte Entwicklung einesalten Keimes. Das Seqt genannte Verhältniss des Ahmes wuchsdazu heran, und es scheint fast, als ob die ganze Entwicklung aufägyptischem Boden vor sich ging.
Ist aber eine Art von Gemeinsamkeit der Mathematiker vonNikomedes und Diokles bis auf Menelaus und Ptolemäus , von 200v. Chr. bis 150 nach Chr. nicht zu verkennen, so ist es nicht mindernothwendig auf allgemeine kulturhistorische Veränderungen hinzu-weisen, welche innerhalb dieser Zeit eintraten, und welche nunmehrbeginnen werden auf dem Gebiete, welches wir zu unserem Arbeits-