Neupythagoräiscke Arithmetiken Nikomachus. Theon. Thymaridas. 369

von Theon besitzen, schwer in ihm den Erfinder bedeutsamer arith-metischer Neuerungen zu sehen, und damit wächst umgekehrt diehistorische Benutzbarkeit seiner Angaben für alte Zeiten. AelterenDatums dürften daher auch die Dinge sein, auf welche zurückzukommenwir oben zugesagt haben. Jede Quadratzahl, sagt uns Theon 1 ), istentweder selbst oder nach Verminderung um eine Einheit durch 3wie auch durch 4 theilbar, und so entstehen vier Arten von Quadrat-zahlen durch Vereinigung jener beiden selbständigen je zwei Unter-arten bedingenden Unterscheidungen. Es ist ziemlich gleichgiltig,wann man diesen Satz entdeckte, der freilich der Lehre von denquadratischen Resten angehört, aber eine grosse praktische Be-deutung nicht besitzt.

Ganz anders verhält es sich mit den Seiten- und Diametral-zahlen, 7tkevQci und didpsrpog, mit welchen Theon sich beschäftigt. 2 )Die Entstehung dieser Zahlen ist folgende. Ausgehend von zweiEinheiten bildet Theon neue Zahlen, indem er einmal die beiden ge-gebenen Zahlen addirt 1 -(— 1 = 2 und das anderemal das Doppelteder einen Zahl zur anderen fügt 2 • 1 -(- 1 = 3. Von den beidenso gewonnenen Zahlen heisst ihm die kleinere 2 die Seite, die grössere3 die Diametralzahl. Diese Bilduugsweise wird alsdann fortgesetzt,indem die Summe einer Seite und ihrer Diametralzahl die folgendeSeite, die Summe der dojipelten Seite und der Diametralzahl diefolgende Diametralzahl liefert. Heissen etwa alle Seiten a, alleDiametralzahlen d mit jedesmal beizufügender Ordnungszahl, so istdas Bildungsgesetz ß n _i -(- d n _ 4 = «„ und 2a„_ 1 -(- d n _j = d„.Das Quadrat einer jeden Diametralzahl, behauptet nun Theon, unter-scheidet sich von dem doppelten Quadrate der zugehörigen Seite nurum eine Einheit, um welche bald die eine bald die andere Zahl ab-wechselnd grösser ist. Einen Beweis für diesen Lehrsatz:

8 „ 2 = 2 a „ 2 + 1

wird man bei Theon vergeblich suchen, richtig aber ist er, wie dieWerthe «. = 1, dj = 1; a 2 = 2, d 2 — 3; a 3 = 5, d 3 = 7; c 4 = 12,d 4 = 17 u. s. w. zeigen. Jedenfalls kann man aus dem als wahr

angenommenen Satze die Folgerung ziehen, dass — sich nur wenig

^71

von j/2 unterscheide, dass also y, u. s. w. auf einander

folgende Näherungswerthe von f/2 sein müssen. Wir haben — mehr-

’) Theon pag. 35, 17 etc. s ) Theon pag. 43, 5 etc. Nesselmann, Algebrader Griechen S. 228—231 hat eine von unserer Auffassung verschiedene Er-klärung dieser Stelle. Mit uns stimmt dagegen überein Unger in einem Er-furter Gymnasialprogramm von 1843: Kurzer Abriss der Geschichte der Zahlen-lehre von Pythagoras bis auf Diophant S. 17—19.

Cantor, Geschichte der Mathem. I,

24