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Eckpunkten, sondern nach zwischen denselben liegenden Punktender Dreiecksgrundlinie gezogen werden. Alsdann kann die Summeder inneren Geraden unter Umständen ebenso gross sein, sie kannauch mehr betragen als die der umfassenden Seiten und zwar inmannigfachen Abstufungen, und diese sämmtlichen Fälle werden aus-führlich durchgenommen. Die vierte Abhandlung geht zur Einbe-schreibung der fünf regelmässigen Vielflächner in die Kugel über,bei welcher Gelegenheit die Sphärik des Theodosius von Tripolismehrfach benutzt aber auch ergänzt wird. Es ist mit grossem Rechtebemerkt worden, 1 ) dass die Auffassung der Aufgabe eine wesentlichandere ist als die, von welcher Euklid im XIII. Buche seiner Ele-mente ausgeht, und dass dadurch die erneute Behandlung um sohöheren Werth erhalte. Euklid kommt es auf die metrischen Zu-sammenhänge zwischen Polyederseite und Kugeldurchmesser an; erbildet sich zuerst die Polyeder und beweist hinterdrein ihre Ein-beschreibbarkeit. Pappus will die Polyeder selbst erhalten; er gehtaus von der Kugel und verschafft sich die Parallelkreise auf derKugeloberfläche, welche je eine Polyederfläche als eingeschriebenesVieleck besitzen.
Das IV. Buch zerfällt gleichfalls in mehrere Abtheilungen, wennschon die Sonderung derselben nicht auf den ersten Blick in dieAugen fallt. Es beginnt mit der Lehre von den Kreistransversalen,an welche sich die Aufgabe knüpft, den drei einander äusserlich be-rührende Kreise umschliessenden Kreis zu construiren. Noch andereBerührungsaufgaben vollenden das, was wir die erste Abhandlungdes IV. Buches nennen möchten. Auf sie folgen eine Anzahl vonSätzen aus der Lehre von der archimedischen Spirale sowie von deruikomedischen Conchoide und darauf eine ziemlich ausgedehnte Ab-handlung über die Quadratrix, in welche verschiedene andere Unter-suchungen sich ziemlich naturgemäss einfügen. Wir nennen dieRectification des Kreises; wir nennen Beziehungen zwischen Quadra-trix und Spirale; wir nennen die Trisektion des Winkels und die all-gemeinere Aufgabe der Theilung des Kreises in beliebigem Verhält-nisse der Bögen mittels der Quadratrix, aber auch mittels der Spirale;wir nennen endlich die Benutzung der Quadratrix zur Lösung der3 Probleme: ein regelmässiges Vieleck von beliebiger Seitenzahl ineinen Kreis zu beschreiben, zu einer gegebenen Sehne einen Kreis-bogen zu finden, welcher ein bestimmtes Längenverbältniss zurSehne besitze, zu einander incommensurable Winkel zu zeichnen.
Das V. Buch beginnt mit dem Auszuge aus der Abhandlung desZenodorus über Figuren gleichen Umfanges, so weit ebene Figuren
') Woepcke im Journal Asiatique Serie 5, T. V ( Fevricr-Mars 1855) pag.238—240.