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In geometrischer Beziehung möchten wir auf eine geschichtlichbedeutsame, wenn aucli ein besonderes Verdienst des Pappus nichtgrade bezeugende, Bemerkung des VIII. Buches aufmerksam machen,welche keinen Zweifel darüber lässt, dass bei den Griechen eineGeometrie mit einer einzigen Zirkelöffnung, tu svldiaöTqfiuri yQU(po^,iva, bekannt war.’)
Wir heben jenen Abschnitt des IV. Buches hervor, der mit derQuadratrix sich beschäftigt. 7 ) Die Quadratrix wird diesem Abschnittezufolge ausser nach dem Gesetze, welches wir bei der ersten Nennungder Curve schon kennen gelernt haben, auch noch durch zwei vielverwickeltere Entstehungsarten erzeugt, welche man in folgendeWorte fassen kann: Es sei eine Schraubenlinie auf einem geradenKreiscylinder beschrieben, dann bilden die Perpendikel, welche vonden einzelnen Punkten derselben auf die Axe des Cylinders gefälltwerden, eine Schraubenlläche. hegt man durch eines dieser Perpen-dikel unter passender Neigung gegen die Grundfläche des Cylinderseine Ebene, so schneidet diese Ebene die Schraubenfläche in einerCurve, deren senkrechte Projektion auf die Grundfläche des Cylindersdie Quadratrix ist. Und zweitens wählt man eine archimedischeSpirale zur Basis eines geraden Cylinders und denkt man sich einenUmdrehungskegel, dessen Axe diejenige Seitenlinie des Cylinders ist,welche durch den Anfangspunkt der Spirale geht, so schneidet dieserKegel die Cylinderfläche in einer Curve doppelter Krümmung. DiePerpendikel, welche von den verschiedenen Punkten dieser Curve aufdie erwähnte Seitenlinie des Cylinders gefällt werden, bilden dieSchraubenfläche, welche Pappus an dieser Stelle plektoidischeOberfläche nennt. Legt man nun durch eine dieser Linien unterpassender Neigung eine Ebene, so schneidet diese die Oberfläche ineiner Curve, deren senkrechte Projektion auf die Ebene der Spiraledie verlangte Quadratrix sein wird. Welche tiefe Kenntniss krummerOberflächen musste nicht vorausgehen, damit diese Erzeugungsartender Quadratrix erfunden werden konnten! Welchen Weg hat auchin dieser Beziehung die griechische Geometrie von Archytas , der,wie wir uns erinnern (S. 197), gekrümmte Oberflächen zur Würfel-verdoppelung benutzte, bis auf Pappus zurückgelegt! Um so bedauer-licher ist es, dass uns die euklidischen Oerter auf der Oberflächefehlen, aus denen wir ermessen könnten, in welcher Periode dergrössere Theil jenes Weges zurückgelegt worden ist.
') Pappus (ed. Hultsch) pag. 1074 . *) Dieser Abschnitt (ed. Hultsch)
pag. 258—264 hat in dem eislebner Programm von 1875 durch Gerhardteine deutsche Uebersetzung erhalten. Der Text Gerhardts weicht indessenin wesentlichen Dingen von dem Hultschs ab. Letzterer befindet sich invollem Einklang mit Chasles, Apergu hist. 31 , deutsch 28 , dem wir hier vor-zugsweise folgen.