384

Kapitel XXII.

Pappus geht hier in seiner Betrachtung von Oberflächen und aufdenselben hervortretenden Curven doppelter Krümmung noch weiter.Er lässt eine sphärische Spirale entstehen, indem ein grösster Kugel-kreis um seinen Durchmesser mit gleichmässiger Geschwindigkeitsich dreht, während zugleich ein Punkt mit ebenfalls gleichmässigerGeschwindigkeit die Peripherie des gedrehten Kreises durchläuft, 1 )und er findet die Fläche eines durch diese sphärische Spirale be-grenzten Stückes der Kugeloberfläche, eine Complanation, welcheunsere Bewunderung um so lebhafter in Anspruch nimmt, wenn wirdaran denken, dass die gesammte Kugelfläche zwar seit Archimedbekannt war, Stücke der Kugeloberfläche aber zu messen, wie z. B.sphärische Dreiecke, damals und noch lange später eine ungelösteAufgabe darstellte.

Sätze aus der Geometrie der Ebene, welche bei Pappus den Leserüberraschen, finden sich namentlich in dem VII. Buche, dessen In-halt von selbst einlud, Erweiterung zu jenen feinen Analysen vor-zunehmen, die in den meistens verlorenen Schriften eines Euklid undApollonius enthalten gewesen sein müssen. '•) Hier findet sich in denLeminen zum bestimmten Schnitte des Apollonius die Lehre von derInvolution von Punkten, in den Lemmen zu den Berührungen desApollonius die Aufgabe durch 3 in einer Geraden gelegenen Punkteebensoviele Gerade zu ziehen, welche ein Sehnendreieck in einem ge-gebenen Kreise bilden. Hier enthält ein Lemma zu den Porismen desEuklid die Lehre von der Constauz des anharmonischen Verhältnissesund ein Lemma zu den Oertern auf der Oberfläche ebendesselben denSatz, dass die Entfernungen eines jeden Punktes irgend eines Kegel-schnittes vom Brennpunkte und der zu demselben gehörigen Leit-linie in constantem Verhältnisse stehen, was Apollonius noch nichtgewusst zu haben scheint. Hier ist in den Lemmen zu den Be-rührungen des Apollonius der Lehre von den Aehnliclikeitspunktenzweier Kreise soweit vorgearbeitet, als wenigstens bekannt ist, dass dieVerbindungsgerade der entgegengesetzten Endpunkte paralleler Halb-messer zweier sich äusserlich berührender Kreise durch den Berührungs-punkt geht. 3 )

Hier endlich spricht Pappus zu den Kegelschnitten des Apollonius die Aufgabe aus, welcher, seit Descartes die Aufmerksamkeit derMathematiker aufs Neue auf sie gelenkt, der Name der Aufgabedes Pappus vorzugsweise geblieben ist. 4 ) Wenn mehrere geradeLinien der Lage nach in einer Ebene gegeben sind, den geometrischen

‘) Pappus (ed. Hultsch) pag. 264 sqq. Vergl. Klügels MathematischesWörterbuch Bd. IV, S. 449 flgg. 2 ) Für das Folgende vergl. namentlich Chas-les, Apercu hist. 33—44, deutsch 31—41. 3 ) Pappus (edit. Hultsch) pag. 840.4 ) Pappus (edit. Hultsch) pag. 678.