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Kapitel XXII.

schaft enthüllt, wenn wahrscheinlich gemacht werden könnte, dassder Erfinder jenes Verfahrens wirklich beabsichtigte, was nachträglichaus seinem Versuche gemacht worden ist. Wir können für jetztnicht daran glauben, weil ein Mann wie Pappus, gelehrt und geo-metrisch gewandt wie kein Zweiter seiner griechischen Zeitgenossen,sonst wohl kaum mit einer gewissen Geringschätzung von jenem Ver-suche gesprochen haben würde.

Zu den Berührungen des Apollonius macht Pappus zwei Be-merkungen, von welchen wir (S. 297) andeutungsweise redeten, ihreeigentliche Erwähnung bis hierher aufsparend, da es mindestenszweifelhaft ist, 'ob wir hier dem Apollonius bereits Bekanntes, obeinen Zusatz des Pappus vor uns haben. Pappus sagt uämlich, aus3 Elementen, deren jedes beliebig oft gesetzt werden darf, lassensich lOTernen und nur 6 Amben bilden.’) Das sind wahre combinatori-sche Lehrsätze von einem Mathematiker verwerthet. Neben der Ur-sprungsfrage bleibt noch eine zweite zu stellen, die wir nicht zuentscheiden wagen, ob die beiden Sätze als specielle Fälle, ob alsin einer allgemeinen Hauptwahrheit enthalten bekannt waren. Wirneigen der Meinung zu, es sei nur Ersteres der Fall gewesen, undPappus, oder wer nun die Sätze fand, habe durch thatsächlichesBilden der Combinationsforiuen sich von ihrer Anzahl überzeugt.

Die drei hauptsächlichen Mittelgrössen sind schon mehrfach vonuns besprochen. Wir wissen, dass Nikomachus von Gerasa, dassTheon von Smyrna sich mit ihnen beschäftigte, aber keiner vonBeiden leitete so, wie Pappus in seinem III. Buche es thut 2 ), alle3 durch eine gleichmässige Erzeugungsweise ab. Zwischen a und cist Pappus zufolge eine dritte Grösse b arithmetisches, geometrischesoder harmonisches Mittel, je nachdem die beiden Differenzen a — bund b — c in dem Verhältnisse a : a oder a : b oder a : c stehen.

Wir möchten ferner die Aufmerksamkeit unserer Leser auf diedem III. Buche angehörige Aufgabe lenken zu einem gegebenenParallelogramme ein zweites zu finden, so dass die Seiten des zweitenzu denen des ersten in einem gegebenen Längenverhältnisse stehen,während die Flächenräume in einem anderen gleichfalls gegebenenVerhältnisse stehen sollen. 3 ) Die Aufgabe ist an sich leicht undeine vollständig bestimmte, aber sie gewinnt an geschichtlicher Trag-weite, wenn wir sie mit jener unbestimmten Aufgabe im Buche desLandbaues vergleichen (S. 329) zwei Rechtecke zu finden, bei welchendie Summe der Seiten in einem, die Flächeninhalte in einem anderengegebenen Verhältnisse stehen sollen, eine Aufgabe, welche uns nochwiederholt begegnen wird, und deren Ursprung durch das blosse

*) Pappus (ed. Hultsch) pag. 646 und 648. a ) Pappus (ed. Hultsch.)pag. 70 und 72. 3 ) Pappus (ed. Hultsch) pag. 126 sqq.