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Vorkommen im heronischen Buche des Landbaues noch keineswegsgesichert ist, da grade dieses Buch spätere Einschiebungen mit grosserWahrscheinlichkeit vermuthen lässt.
Endlich kommen wir auf die Multiplikationsmethode des Apolloniusin II. Buche des Pappus zurück und auf eine Bemerkung, welchewir bei unserer ersten Erörterung dieses Verfahrens (S. 298) dazumachten. Jene Bemerkung bezog sich auf das Auftreten xterMyriaden. Die Allgemeinheit der Darstellung beschränkt sich nicht aufsie. Bei den Zahlenbeispielen, an welchen die Multiplikation mit Hilfe derWurzelzahlen gelehrt wird, kommen natürlich griechischer Gewohnheitgemäss Buchstaben als Vertreter von Zahlen vor. Aber neben den zudiesem Zwecke verwandten Buchstaben des Alphabetes erscheinen auchgrosse Buchstaben in der Bedeutung allgemeiner Zahlen. So ist a = 1,ß = 2, y — 3, d — 4, f = 5, und von den entsprechenden grossen Buch-staben wird angenommen, es sei 1 ) A = 20, B — 3, r = 4, A = 5,K = 0 und Z sei die Wurzelzahl von A oder 2. Offenbar ist hierein ungemeiner Fortschritt enthalten. Es ist nicht bloss von einergesuchten Grösse, einem Hau der Aegypter die Rede; es werden nichtbloss, wie in dem Epantheme des Tliymaridas, zwei Gattungen vonGrössen, gegebene und unbekannte unterschieden; es liegt die Mög-lichkeit vor, so viele allgemeine Grössen als es nur grosse Buchstabengibt zu unterscheiden, Operationen an ihnen anzudeuten und damitRegeln selbst in ihrer Allgemeinheit auszusprechen, ohne denLeser zu nöthigen die Regel erst aus dem besonderen Beispiele zuabstrahiren. Es ist in der That eine Buchstabenrechnung. SchonAristoteles hat (S. 218) eine Kraft, eine Zeit durch einen einfachenBuchstaben bezeichnet. Bezeichnungen durch einfache Buchstabenhat man auch aus Ciceros Briefen nachzuweisen vermocht. 2 ) Abei:eine so freie Bewegung mit den Symbolen allgemeiner Grössen wieim II. Buche des Pappus ist doch neu. Dem Vorgänge des Aristoteles gegenüber ist es nicht erlaubt ohne Weiteres zu leugnen, dass Apollonius schon diesen gewaltigen Fortschritt vollzog. Es ist noch wenigergestattet Solches' geradezu zu behaupten und anzunehmen weder einGeometer noch ein Arithmetiker, kein Heron, kein Nikomachusseien in die Fusstapfen des Apollonius getreten. Vielleicht ist der Fort-schritt in zwei Bewegungen erfolgt, wenn man uns diese Ausdrucks-weise gestatten will. Apollonius , das wissen wir aus Pappus, hatsein Verfahren geometrisch dargestellt 3 ), d. h. er sprach offenbar,gleich Euklid an manchen Stellen der Elemente, von Linien undFlächen, wo wir von Zahlen und ihren Produkten zu reden gewohnt
') Pappus (ed. Hultsch) pag. 8. s ) Epistolae ad Atticum Lib. II,epistola 3 . 3 ) xö di y^aiiftixov vno rov ’ AitolltovCov Siätixzai bei Pappus (ed.Hultsch) pag. 8.
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