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Kapitel XXIII.

und alsdann noch um die Einheit vermehrt zur Quadratzahl werde,ist keinenfalls des Jamblichus Eigenthum, da derselbe mindestensschon bei Plutarch im I. S. n. Chr. vorkommt (S. 142). Auch wasJamblichus von Seiten und Diametralzahlen weiss, kennen wir schonvon Theon von Smyrna her. Ihm dagegen gehört vielleicht derSatz an, dass jede Zahl mit einer der beiden ihr zunächst liegendengleichartigen (d. h. grade mit graden, ungrade mit ungraden) ver-vielfacht unter Hinzufügung der Einheit zu dem Produkte ein Quadratgibt, und zwar ein grades Quadrat wenn von ungraden, ein ungradeswenn man von graden Faktoren ausging'), ein Satz, der freilich keinesweiteren Beweises bedarf, als der sich aus der Identität a (a -f- 2)+ 1 = (« -J- 1) 2 ergibt.

Jamblichus darf sich wohl auch die Erfindung zuschreiben, welchejede Quadratzahl in ihrer Entstehung als Summe zweier auf einanderfolgenden Dreieckszahlen mit dem Bilde einer Rennbahn vergleicht. 2 ;Von der Einheit als Schranke durchläuft man alle Zahlen bis zu einemWendepunkte a, von wo aus auf der anderen Seite wieder durchdie sämmtlichen Zahlen die Rückkehr zur Einheit als Ziel erfolgt;d. li. 1 + 2 + ■ • + (o - 1) + a + («■ - 1) + ■ • + 2 + 1 = « 2 .Daneben weiss Jamblichus auch, dass 1 -f- 2 + • • + ( a — 1) -(- a +( a — 2) —(- - - —f— 2 = (« — 1). a eine heteromeke Zahl wird, undstellt auch diese Vorwärts- und Rückwärtssummirung, bei der freilichbeim Zurückgehen ein Sprung von a nach a — 2 erfolgt, und ausser-dem das Ziel bei 2 und nicht bei 1 ist, an dem Bilde einer Renn-bahn dar. Ja er hetzt das Bild einer Rennbahn zu Tode, indem er

von 1+2 +3-|-1-9+10+9-1 - (-3 + 2+1 — 100 durch

Vervielfachung jeder Zahl mit 10, mit 100 u. s. w. zu 1000, zu10 000 u. 8. w. gelangt und die Zahlen 1, 10, 100, 1000 die Einheitendes ersten, des zweiten, des dritten, des vierten Ganges mit denPythagoräern nennt, woraus hervorgeht, dass den Pythagoriiernein genaues Bewusstsein des dekadischen Zahlensystems innewohnte,wie es auch aus dem Begriff der Wurzelzahlen bei Apollonius deut-lich hervorgeht. Die Wurzelzahlen selbst, aber nicht Pythmenes,sondern Einheit, f,loväg , genannt, spielen in einem letzten Satzedes Jamblichus eine Rolle. Addirt man drei in der natürlichenZahlenreihe unmittelbar auf einander folgende Zahlen, deren grösstedurch 3 tlieilbar ist, nimmt die Zifferusumme der Summe (d. h; beiJamblichus die Summe der Monaden), von dieser Ziffernsumme aber-mals die Ziffernsumme u. s. f., so gelangt man endlich zu der letzten

') Jamblichus in Nicomachum (ed. Tennulius) pag. 127. Vergl. Nessel-mann, Algebra der Griechen S. 236, Anmerkung 70. *) Für diese und die

folgenden Bemerkungen zu Jamblichus vergl. Nesselmann, Algebra-derGriechen S. 237—242.