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Kapitel XXIII.

als Keimzeichen der Auflösbarkeit ausgesprochen, es müsse ( * ) 2 — a c

ein Quadrat sein. Wird aber die Gleichung mit dem Coefticientena von x 2 vervielfacht und durch beiderseitige Hubtraktion von

abx -f - ac — in die Form o 2 a ; 2 — abx + ( g ) ~(ir) — a c

oder {^ax 5 -)' = ( ^ )' — ac übergeführt, so entsteht ax ^

= ^ ( 5 -) —ac und Diophant knüpft, wie wir vorhin sagten, die

Auflösbarkeit der Gleichung an die Rationalität der Quadratwurzel.Jene andere Bedingung, deren wir gewärtig sein durften, dass.nurIlinzuzufügendes unter dem Wurzelzeichen nach vollzogener Zusammen-ziehung der dort auftretenden Werthe stehen dürfe — abzüglicheZahlen als solche sind, wie wir oben sahen, bei Diophant überhauptnicht gestattet, also auch nicht unter einem Wurzelzeichen — stecktwohl in der diopliantischen Bedingung enthalten, aber letztere gehtnoch bedeutend weiter und schränkt die- Anzahl der auflösbarenGleichungen beträchtlich mehr ein. Woher diese Beschränkungstammt, ist, wenn man weiter nachdenkt, unschwer zu erkennen.Die eigentliche Algebra sieht ab von der geometrischen Bedeutungder vorkommenden Glieder. Sie vereinigt z. B. wie in jener lieroni-schen Aufgabe (S. 341) Flächen und Längen, beide nur als Maass-zahlen aufgefasst, in eine Summe. Dieser allgemeinere Standpunktgestattet geometrisch undenkbare Fragestellungen, schliesst aber zu-gleich nur geometrisch denkbare Antworten aus. Jede Quadratwurzelaus positiven Werthen lässt mit Zirkel und Lineal sich geometrisch her-steilen, so gut wie die Diagonale des Quadrates eine geometrisch genaubestimmte Länge besitzt, aber in Zahlen ist eine Quadratwurzel nurmöglich, wenn sie rational ist. Man halte uns nicht die lieronischeAufgabe entgegen, auf welche wir eben uns bezogen haben, nichtdie geodätischen Beispiele Herons, in welchen Nälierungswertlie vonQuadratwurzeln vielfach benutzt sind, nicht Archimeds Rechnungenin seiner Kreismessung. Heron blieb Feldmesser, auch wo er deralgebraischen Anschauung sich nähert, und die Feldmesswissenschaltbegnügt sich mit dem Maasse geometrischer Gebilde, so genau es inZahlen hergestellt werden kann, während die Gebilde selbst geo-metrische Grössen sind und bleiben. Archimed aber, gleichfalls vongeodätischen Zwecken ausgehend, blieb noch strenger den Gesetzengeometrischer Behandlung auch bei seinen Zahlengrössen getreu: erbediente sich niemals angenäherter Gleichungen, sondern sprach Un-gleichungen aus, welche er nur immer näher an einander brachte.Die griechische Algebra, ein Tlieil der Arithmetik, kennt dagegennur Zahlen als solche, Zahlen, die ausgesprochen werden können.Wir haben schon früher (S. 159) hervorgehoben, dass die Beschränkung