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sogar auf positive ganze Zahlen der griechischen Arithmetik langeeigenthümlich war. Nikomachus, Theon von Smyrna , .Tambliclnishaben uns keine Veranlassung gegeben, diese Ansicht zu widerrufen.Brüche kommen bei ihnen nur in der Gestalt von Verhältnissentranzer Zahlen vor. Auch die Seiten und Diametralzahlen bei Theon
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(S. 369) waren wesentlich ganze Zahlen, deren Verhältuiss nur nachunserem Dafürhalten statt des Verhältnisses 1 : j/2 näherungsweiseeintreten konnte. Diophant hielt sich an die Ganzzahlig -,keit nicht mehr gebunden, und das ist ein zwar allmälig vorbe-reiteter aber darum nicht minder wichtiger Fortschritt. Dagegen istihm das Irrationale immer noch keine Zahl.
Kehren wir mit diesem Bervusstsein zu dem diophantischen Ver-fahren bei der Auflösung gemischter quadratischer Gleichungen zurück,so ist uns höchst bemerkenswerth die Art, in welcher er die Auf-lösung vorbereitet. Genau so, wie wir es bei Heron kennen gelernthaben, vervielfacht er die Gleichung mit dem Coeflicienten desQuadrates der Unbekannten, statt durch diesen Coeflicienten zudividiren. Darauf wies uns die bereits besprochene 25. Aufgabe desVI. Buches. Eine Bestätigung besitzen wir in der 45. Aufgabe desIV. Buches:') „Mau findet, dass 2 x ! grösser als 6 x -f- 18 seinmuss. Um nun hier eine Vergleichung anzustellen, so erhebe ich denhalben Coefficienten von x ins Quadrat und erhalte 9. Nun multiplicirenwir den Coefficienten von x 2 mit der bestimmten Zahl 18, gibt 86.Dazu addiren wir 9, gibt 45, und davon ist die Wurzel nicht kleinerals 7. Dazu addiren wir den halben Coefficienten von x und dividirendurch den Coefficienten von x 2 , so finden wir, dass x nicht kleinersein darf als 5.“
Hier ist freilich eine Ungleichung, keine Gleichung zu behandeln,allein das verändert das anzuwendende Verfahren nur so weit, alshier eine Grenze der betreffenden irrationalen Quadratwurzel ein-gesetzt werden darf, weil unter Annahme der richtigen Zahl statt 18,die Ungleichung 2x 2 y 6x -f- 18 in die Gleichung 2x 2 = Qx -(- 18 -f- kd. h. in eine Gleichung der zweiten Form übergehen würde, beiwelcher z. B. durch k = 2 die Irrationalität verschwände. Diophantgeht nun folgendermassen zu Werk. Aus ax 2 =bx-\-c-\-k erhält
( h y , /^\ 2 _i_ j , / ac +0+ ak +i
er lax — -p 1 = ac -J- 1 - J -+- ak, daraus x — • - -
y ° c +(tt) +
oder endlich x 5 " --.
' a
Noch eine andere Eigentlnimlichkeit, welche freilich bei der eben
') Diophant (Schulz) S. 212.