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Kapitel XXIII.

betrachteten Ungleichung nicht zu Tage treten kann, weil negativeZahlen als solche für Diophant nicht existiren, besteht darin, dassnirgend zwei Auflösungen einer quadratischen GleichungVorkommen, indem die Wurzelgrösse sowohl hinzufügend als ab-züglich mit einer anderen Zahl höheren Werthes verbunden ist. Manhat allerdings die Bemerkung gemacht, unter den Beispielen, welche beiDiophant sich vorfinden, sei kein solches, bei welchem eine zweifacheMöglichkeit positiver Wurzeln auftrete, weil immernoch gewisse zahlen-theoretische Nebenbedingungen zu erfüllen seien, welche sich derAnnahme der Wurzel mit negativer Quadratwurzel widersetzen, essei also ein Zufall, der diese Lücke schuf, und man sei nicht be-rechtigt anzunehmen, Diophant habe wirklich nicht gewusst , dass esAufgaben mit zwei von einander verschiedenen Auflösungen gebe.')Es würde sich lohnen die freilich nicht mühelose Arbeit zu unter-nehmen, siimmtliche Aufgaben des Diophant von diesem Gesichts-punkte aus einer Prüfung zu unterwerfen. Jedenfalls könnte sie abernicht mehr als nur die entfernte Möglichkeit und keineswegs dieWahrscheinlichkeit zur Folge haben, dass Diophant von zweierleiLösungen gewust haben könnte, wofür wir nur im 35. Kapitel eineArt von Bestätigung finden werden.

ln diesem Zusammenhänge müssen wir auch von solchen quadra-tischen Gleichungen reden, welche gewöhnlich mit Hilfe zweier Un-bekannter gelöst bei Diophaut nur das Aufsuchen, einer einzigenfreilich mit besonderem Geschick ausgesuchten Grösse verlangen. WennDiophaut in der 30. Aufgabe des I. Buches ’) zwei Zahlen aus ihrerSumme und ihrem Produkte linden will, so nimmt er die halbeDifferenz der beiden Zahlen zur Unbekannten und erhält beide Zahlenje nachdem er die Unbekannte zur halben Summe addirt oder vonihr abzieht; das gegebene Produkt ist daher gleich dem Quadrat derhalben Summe verringert um das Quadrat der Unbekannten, die somitdurch einfache Qiulratwurzelausziehung sich ergibt. Derselben Unbe-kannten bedient er sich in der 31. Aufgabe, 3 ) wenn zwei Zahlen aus ihrerSumme und aus der Summe ihrer Quadrate gefunden werden sollen.Wieder erhält er beide Zahlen, je nachdem er die Unbekannte zurhalben Summe addirt, oder von ihr abzieht, und die Summe derQuadrate wird gleich dem Doppelten des Quadrates der halben Summeund des Quadrates der Unbekannten, die wieder durch einfacheQuadratwurzelausziehung sich ergibt. Nicht anders werden in der32. Aufgabe 4 ) zwei Zahlen aus ihrer Summe und dem Unterschiedeihrer Quadrate gewonnen, welche letztere sich als doppeltes Produkt

') So L. Itodet im Journal Asiatique. 7 ieme scrie, T. XI (Janvier1878) pag. 89—90. 2 ) Diophant (Schulz) S. 49. 3 ) Ebenda S. 50. 4 ) EbendaS. 51.