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der Unbekannten in die gegebene Summe erweist, so dass einfacheDivision liinreicht die Unbekannte zu finden. Sind in der 133. Auf-gabe') Differenz und Produkt zweier Zahlen gegeben, so wird diehalbe Summe als Unbekannte gewählt, welche die beiden Zahleniu der Gestalt erscheinen lässt, dass die halbe Differenz zur Unbe-kannten addirt, beziehungsweise von ihr subtrahirt wird. Das gegebeneProdukt ist also das Quadrat der Unbekannten vermindert um dasQuadrat der halben Differenz, und die Unbekannte wird wiederholtdurch eine Quadratwurzelausziehung gefunden. Aelmlich verfahrtDiophant noch in anderen Fällen, die wir nicht alle einzeln vor-führen dürfen, um uns nicht zu lange bei dem Gegenstände zuverweilen.
Eine kubische Gleichung kommt in der 20. Aufgabe des VI. Buches -)vor, aus welcher aber keinerlei gesicherte Schlussfolgerung sich ziehenlässt. Es heisst bei Diophant nur: „Es ist x 3 — Sx 2 -j- 'dx — 1 =x 2 -f- 2 x -f- <‘3, hieraus findet man x = 4“ ohne die leiseste An-deutung, wie „man“ diesen Wurzelwerth finde? Ob man die Gleichungzunächst in die Form x 3 -f- x = 4 x 2 -f- 4 brachte und dann darausdurch Division mit x 2 -f- 1 den Werth x = 4 erhielt? 3 ) Es ist wohlmöglich, aber über die Möglichkeit hinaus können wir die Vermuthungnicht erheben.
Bis hierhin haben wir mit Diophant in der ersten Bedeutung,die wir ihm beilegten, uns beschäftigt. Wir wenden uns zu demGebiete der unbestimmten Aufgaben, auf welchem wir Diophant alsBahnbrecher, als Pfadfinder zu erkennen haben. Er setzt sichdabei die gleichen Schranken, welche auch seiner be-stimmten Algebra anhaften, keine anderen. Die Wurzel-
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werthe, welche er den vorgelegten Gleichungen zu geben sich bemüht,dürfen keine abzüglichen, keine irrationalen sein, denn sonst wärenes keine Zahlen, aber weiter gehen seine Anforderungen nicht. Ins-besondere verlangt Diophant nicht ganzzahlige Auflösungen, und nuriu einzelnen Fällen, wo etwa das Weglassen eines denjenigen Zahlen,die gemeinschaftlich die gestellte Aufgabe erfüllen, insgesammt an-haftenden Nenners den Uebergang zu ganzzahligen Auflösungen all-zunahe legt, gibt er solche an. Was also heute Diophantische Analytikgenannt zu werden pflegt, was man als Diophantische Gleichungendem Schulunterrichte einverleibt hat, das darf man bei Diophant nichtsuchen. Diophant, sagen wir, löst unbestimmte Aufgaben in rationalenZahlen, und er weiss dieses nicht nur dann auszuführen, wenn dieGleichungen vom ersten Grade sind, sondern auch und vorzugsweise,wenn der Grad sich auf den zweiten erhebt, ja iu nicht wenigen
‘) Diophant (Schulz) S. 52. 2 ) Ebenda S. 301. 3 ) So meint Schulz S. 589
in seinen Anmerkungen zu der betreffenden Aufgabe.