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der zweiten und dritten von der Gesammtsumme, d. li. wenn x~ — 2.r-}- 1 von x 1 -f- 2 x -|- 1 abgezogen wird, sie muss 4x sein, und diezxveite Zahl allein ist die um die erste Zahl 4x verringerte Summe x 2der ersten und zweiten Zahl oder x 2 — 4x. Es bleibt jetzt nur nochzu erfüllen, dass die Summe der ersten 4x und der dritten 2x -j- 1,d. h. dass Gx -f- 1 ein Quadrat werde, und dazu setzt DiophantGx -(- 1 = 121, mithin x = 20 und die drei Zahlen sind 80, 32t), 4LDiophant verschweigt uns sogar, warum er 6a; -f- 1 = 121 setzt undnicht eine kleinere Quadratzahl ähnlicher Form wählt, wenn auchder Grund hiervon nachträglich zu erkennen ist. Die AnnahmeGx -j- 1 = 25 gibt nämlich die drei Zahlen 16, 0, 9, unter welchendie 0 vorkonimt, die ihm keine Zahl ist; und die Annahme Gx -f- 1 =49gibt die Zahlen 32, 32, 17, welche er wohl desshalb vermeidet, weildie beiden ersten unter sich gleich sind, also streng genommen keinedrei Zahlen darbieten.
Virtuosität legt Diophant auch darin an den Tag, dass er die zulösende Aufgabe theilt, dass er gewisse Bedingungen derselben zunächstwillkürlich durch irgend Zahlenannahmen erfüllt, dass er dann dieseAnnahmen als falsch erkennt und vermöge anderer Bedingungender Aufgabe in die richtige umwandelt, ein Weg, der uns unwillkür-lich an den falschen Ansatz erinnert, dessen Ahrnes in seinerschwierigsten Aufgabe von der arithmetischen lveilie (S. 36) sich be-dient hat, ein Weg, der künftig unseren forschenden Blicken wieder-holt erkennbar sein wird, von vielen Fussspuren durchkreuzt, die denmannigfachsten Betretern angehören.
Als einfachste Aufgabe dieser Art wird die 22. des IV. Buches')genannt. Drei proportionale Zahlen von der Beschaffenheit zusuchen, dass der Unterschied von je zweien ein Quadrat werde. Istdie erste Zahl x, so setzt Diophant die zweite x -(- 4, die dritte x -j- 13,damit der Unterschied der ersten und zweiten, sowie der zweiten unddritten ein Quadrat werde. Die angegebenen Zahlen lassen aber denUnterschied der ersten und dritten nicht zu einem Quadrat werden.Die als Summe der Quadrate 4 —(— 9 entstandene Zahl 13 muss alsoso umgewandelt werden, dass sie die selbst quadratische Summezweier Quadrate werde. Man wählt z. B. 25 = 9 + 16 und setzt x,x -(- 9, x + 25 für die drei Zahlen. Jetzt endlich ist die Hauptbedingungx : (x -f- 9) = (x -f- 9) : ( x -J- 25) oder x 1 -f 18a; + 81 = x- -(- 25a;
zu erfüllen, was durch x — -- geschieht, und die drei Zahlen sind
S1 , “° 6 . Es kann auffallen, dass Diophant hier versäumt siimmt-
liche Brüche mit 49 (dem Quadrate ihres Nenners) zu vervielfachen,um die ganzzahlige Auflösung 567, 1008, 1792 sich zu verschaffen;
') Diophant (Schulz) S. 168 .