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Kapitel XXIII.

vielleicht schienen diese Zahlen ihm zu gross. Noch mehr drängtsich die Frage auf, warum grade 9 und 25 als die Unterschiede derersten Zahl von der zweiten und dritten gewählt wurden, warumnicht mindestens gesagt ist 9 -f 16 = 25 sei die kleinste ganzzahligeAuflösung der vorauszulösenden Gleichung a 2 -f b 2 = c 2 , so dassman daraus entnähme, auch andere die gleiche Bedingung erfüllendeZahlen hätten benutzt werden dürfen.

Auf alle solche Fragen, die wir zu stellen geneigt sind, lässtsich stets nur dieselbe Antwort ertheilen, die nämlich, dass für Diophantdiese Fragen nicht so nahe lagen, wie wir zu meinen geneigt sind.Diophant suchte meistens eine Lösung, nicht die Lösung. Er be-antwortete Käthselfragen, er hatte es nur in seltenen Ausnahmsfällenmit folgerungsreiclien Theorien zu tliuu. Er stand damit innerhalbseiner Zeit, innerhalb seines Volkes. Seine. Genialität in Erreichungder vorgesteckten Ziele gehört ihm persönlich zu, die Beschränkungdessen, was er zu erreichen suchte, verschuldet mit ihm die gesannntegriechische Arithmetik, wenn von einer Schuld gesprochen werdenkann, wo auch das entfernteste Bewusstsein fehlt, mau hätte andershandeln können.

Statt daher bei Diophant Methoden zur Auflösung unbestimmterGleichungen vom ersten oder von höherem Grade zu suchen, werdenwir uns begnügen müssen zuzusehen, ob ihm unterwegs bei seinenkünstlichen Windungen einzelne zahlentheoretische Wahrheitenbekannt geworden sind, welche der späteren Zeit zu gute kamen.

Solche Wahrheiten finden wir nun z. B. in der 22. Aufgabe desIII. Buches 1 ), wo es zuerst heisst, dass in jedem rechtwinkligenDreiecke das Quadrat der Hypotenuse auch dann noch ein Quadratbleibt, wenn man das doppelte Produkt der Katheten davon abziehtoder hinzufügt, und später dass die Zahl 65 sich von selbst aufzweierlei Art in zwei Quadrate, nämlich zuerst in 16 und 49 unddann wieder in 64 und 1 zerlegen lasse, welches seinen Grund darinhabe, dass 65 aus der Multiplikation der Faktoren 5 und 16 ent-standen sei, deren jeder die Summe von zwei Quadraten sei. Dasheisst erstlich, dass a 2 -{- b 2 + 2ab ein Quadrat gebe und zweitens,dass (a 2 -f- b 2 ) (c 2 -f- d 2 ) auf zwei Arten als Summe zweierQuadrate dar gestellt werden könne. Wenn auch Diophantnicht sagt, dass ihm die Zerlegungen selbst (ac — b d) 2 -f- (a d + b c) 2und (ac + bd) 2 -f- {ad —- b c) 2 bekannt seien, so ist doch wohl nichtdaran zu zweifeln, da andernfalls die zweifache Möglichkeit der Zer-legung ihm nicht so einleuchtend hätte sein können.

Dass jedes Quadrat auf beliebig viele Arten als Summezweier Quadrate aufgefasst werden könne, lehrt Diophant

) Diophant (Schulz) S. 134 — 135 .