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in der 8. und 9. Aufgabe des II. Buches 1 ) wie folgt. Ist a 2 die zuzerlegende Quadratzalil, so denke man x 2 als den einen, {mx — a) 2als den anderen Theil, wo m ganz beliebig gewählt werden kann.
Demnach muss a 2 = x 2 + m 2 x 2 — 2 a m x 4- a 2 , also x = “ a m
' ' ’ m‘ -(- 1
und mx — a — a sein, oder man hat a 2 = , «V
+ 2 _|_ i ‘ ,( ) unter ganz willkürlicher Anahme von m. Das ist einer
von den seltenen Ausnahmefällen, iu welchem Diophant sich zurvollen Allgemeinheit erhebt und wie wir von dem m fachen, von „irgendeinem Vielfachen 1 ' und von „einem beliebigen Vielfachen" spricht.
Wir nennen ferner die Wahrheit, dass keine Zahl von derForm 4 n -f- 9 die Summe zweier Quadrate sein könne, welchein der 12. Aufgabe des V. Buches 2 ) gelegentlich ausgesprochen ist.Ob Diophant auch wusste, dass jede Primzahl von der Form 4 w -f- 1 alsSumme zweier Quadrate aufgefasst werden kann? Schwerlich! und nochweniger wird mau aunehmen dürfen, falls er wirklich diese oder eineähnliche Umkehrung sich gestattet hätte, er habe einen vollgiltigenBeweis dafür besessen.
Diophant geht vielmehr in Umkehrungen nicht mit der nöthigenVorsicht zu AVerke, wie aus einem seiner Porismen sich ergibt.Wir haben (S. 397) gesagt, dass Diophant an verschiedenen Stellenauf seine Porismen verweise. Drei Porismeu sind ausdrücklich an-geführt in der 3., 5. und 19. Aufgabe des V. Buches.
Das erste derselben lautet: 3 ) „Wenn man zwei Zahlen hat undnicht nur jede dieser Zahlen für sich, sondern auch das Produkt einQuadrat wird, wenn mau die nämliche vorgeschriebene Zahl dazuaddirt, so sind sie von zwei unmittelbar auf einander folgendenQuadraten entstanden", d.h. wenn x -f- a — m 2 , y + u — n 2 , xy -)- a = p 2sein soll, so müssen wr, n auf einander folgende ganze Zahlen sein,liier hat mau zeigen können, 1 ) dass Diophant eine falsche Umkehrungvornahm. Wenn m und n auf einander folgende ganze Zahlen sind,findet allerdings der ausgesprochene Satz statt, aber derselbe kannauch statttinden, ohne dass diese Bedingung erfüllt würde.
Das zweite Porisma lautet 5 ) „dass wenn man zu zwei auf ein-ander folgenden Quadratzahlen noch eine dritte Zahl suche, welcheum 2 grösser ist als die doppelte Summe jener beiden, inan danndrei Zahlen von der Beschaffenheit habe, dass das Produkt von jezweien, sowohl wenn die Summe der zwei multiplicirten, als auchwenn die dritte Zahl dazu addirt wird, ein Quadrat werde.“ Die drei
*) Diophant (Schulz) S. 69—70. 2 ) Ebenda S. 230 und die Anmerkung desUebersetzers S. 518—520. 3 ) Ebenda S. 220. 4 ) Nesselmann, Algebra der
Griechen S. 441—442. 5 ) Diophant (Schulz) S. 222.