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Kapitel XXIII.
Zahlen sind a 2 , (a + 1) 2 > 4a 2 -|- 4a -f- 4 und dass diese in der Thatdie ausgesprochenen Eigenschaften besitzen, ist leicht erkennbar.
Endlich das dritte Porisma heisst') „dass der Unterschied zweierKubikzahlen auch allemal Summe von zwei Kubikzahlen sei“. DerSatz ist wahr, aber einen Beweis gibt Diophant an der Stelle, wo er dasPorisma anwendet, nicht. Das würde auch Niemand erwarten dürfen,denn Verweisungen haben ja grade den Zweck Beweise zu ersparen.Dagegen ist es allerdings einigermassen auffallend, dass auch diepraktische Ausführung jenes als möglich Erklärten fehlt. Der Satzselbst wird uns erst im XVI. S. wieder begegnen, wo er den Aus-gangspunkt interessanter Untersuchungen bildete.
Neben den drei besonders genannten Porismen hat man auchwohl die vorher von uns hervorgehobenen Wahrheiten als Porismendes Diophant aufgefasst, was wenigstens mit dem Charakter der Sätzenicht in Widerspruch steht.
Bei den erhaltenen 6 arithmetischen Büchern noch einen Au^en-
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blick verweilend müssen wir Eins betonen, welches von geschichtlicherBedeutung sein dürfte. Wir haben arithmetische Untersuchungengriechischer Schriftsteller durch Jahrhunderte verfolgen können undhaben deren enge Verbindung mit der Theorie des rechtwinkligenDreiecks in den verschiedensten Perioden hervortreten sehen. AuchDiojdiant beschäftigt sich mit solchen Zahlen, welche die Längen-maasse der Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks sind, und zwartreten diese Aufgaben, abgesehen von einigen wenigen 2 ), die wohlbei der Zerstörung, welche der ursprüngliche Text unter allen Umständen erlitt, an eine Unrechte Stelle gekommen sein mögen, durch-aus im VI. Buche auf. Man gewännt dadurch die Empfindung, esseien zuerst arithmetische, dann geometrisch-arithmetische Fragenbehandelt worden. Wir haben uns (S. 398) der Meinung angeschlossen,es sei nicht wahrscheinlich, dass am Ende der auf uns gekommenen6 Bücher Vieles fehle. Wir sind nicht gewillt solches gegenwärtigzu wiederrufen, aber wenn auch nicht Vieles, so könnte ein Gegen-stand hier verloren gegangen sein, den wir nennen möchten. Diegeometrisch - arithmetischen Fragen des VI. Buches beziehen sichinsgesammt auf das rechtwinklige Dreieck. Die Möglichkeitgeometrisch-arithmetischer Fragen vom Rechtecke ist nicht aus-geschlossen. Solche Aufgaben kennen wär bereits. Sie stehen indem Buche des Landbaues (S. 329), wir mussten bei Gelegenheiteiner Stelle aus dem III. Buche der Sammlung des Pappus (S. 386)daran erinnern. Die Aufgaben verlangen: 1. zwei Rechtecke zufinden, deren Umfänge wie deren Flächeninhalte im Verhältnissewie 1 : 3.stehen; 2. zwei Rechtecke zu finden, deren Umfänge ein-
■) Diophant (Schulz) S. 244. *) Nesselmann, Algebra der Griechen S. 436hat dieselben gesammelt.