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ander gleich seien, deren Flächen aber im Verhältnisse von 1 : 4stehen. Die Auflösung der ersten Aufgabe bilden die Rechtecke ausden Seiten 54, 53 und 318,3, die der zweiten die Rechtecke aus denSeiten 3,GO und 15,48. Eine wenn auch nur geringe Familienähnlich-keit dazu besitzt die 8. Aufgabe des V. Buches') bei Diopliant:„Man soll drei rechtwinklige Dreiecke suchen, deren Flächen ein-ander gleich sind.' 1 Hat Diopliant, was wir nicht für unmöglich halten,Aufgaben behandelt, welche näher mit denen im Buche des Land-baues übereinstimmen, so wird er es schwerlich in dem gleichen Buchegethan haben, in welchem von den rechtwinkligen Dreiecken dieRede war. Jedes rechtwinklige Dreieck ist zwar für die arithmetischeBetrachtung nicht minder wie für die geometrische die Hälfte einesRechtecks, d. li. die Katheten eines rationalen rechtwinkligen Dreieckskönnen auch als Seiten eines rationalen Rechtecks betrachtet werden';aber das gilt nicht umgekehrt. Die Seiten vieler Rechtecke z. B.alle obigen Paare 54, 53 wie 318,3 wie 3,60 wie 15,48 können nicht alsKatheten eiues rationalen rechtwinkligen Dreiecks benutzt werden.Dieser Gegensatz erscheint auch in der Natur der gestellten Fragenwieder. Jene Aufgaben von den Rechtecken verlangten sowohl denInhalt als den Umfang gewissen Zahlenbedingungen zu unterwerfen.Die angeführte diopliautische Aufgabe von Dreiecken schrieb nurfür den Inhalt eine Bedingung vor, weil die Rechtwinkligkeit derDreiecke den Seitenlangen von selbst gewisse Bedingungen auferlegt,die nicht erst ausgesprochen zu werden brauchen.
Wie es nun damit sei, ob Diopliant in einem Schlussbuche seinesWerkes Aufgaben über Rechtecke behandelte oder nicht, unter allenUmständen ist die Form der meisten geometrisch-arithmetischen Auf-gaben des VI. Buches zu beachten, bei welchen, wie in jener Auf-gabe Herons vom Kreise (S. 341), Flächen und Linien so sehr alsZahlen behandelt werden, dass man Summen und Differenzen ausihnen bildet. Wir führen als einfaches Beispiel die 9. Aufgabe desVI. Buches 2 ) an: „Man soll ein rechtwinkliges Dreieck von der Be-schaffenheit suchen, dass die Fläche desselben einer gegebenen Zahlgleich wird, wenn man die beiden Katheten davon abzieht“ oder in
Zeichen geschrieben — x — y — c.
Wir wenden uns zu der kleinen 10 Sätze umfassenden Abhand-lung über Polygonalzahlen, welche in den Handschriften mitden arithmetischen Büchern vereinigt ist. Um den Inhalt 3 ) der Ab-handlung richtig zu verstehen müssen wir uns des Satzes von denDreieckszahTen erinnern, die 8 fach genommen und um 1 vermehrt
') Diophant (Schulz) S. 224—225. 2 ) Ebenda S. 288. 3 ) Eine sehr klare
Uebersicht bei Nesselmann, Algebra der Griechen S. 403—4G9. Die Abhandlungselbst in Diophant (Schulz) S. 317—336.