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Kapitel XXIII.

stets zu Quadraten werden. Wir haben diesen Satz bei Plutarch ,später bei Jambliclius (S. 392) gefunden. Ihn verallgemeinert Dio-phant und behauptet, jede Polygonalzahl werde zu einem Quadrate,wenn man sie mit einem Zahlencoefficienten vervielfache, der von derAnzahl der Ecken der Polygonalzahl abhänge, und das Quadrat einergleichfalls aus dieser Eckenzahl sich ergebenden Zahl hinzuaddire.Er spricht ihn später dahin aus, dass wenn etwa p r das Symbol der»•teil »»eckszahl, und p m allgemeiner das Symbol irgend einer»»eckszahl darstellt, stets 8 (»» — 2) p m -f- (»» — 4) J eine Quadrat-zahl werde. Er findet sodann diese Quadratzahl, welche nicht blossvon »», sondern auch von dem jedesmaligen r abhängt, als[(»» — 2) (2 »• — 1) -f- Hamit ist zugleich eine Doppelformel ge-geben, welche zeigt, wie die »'te »»eckszahl gefunden werden kann,sobald »» und r bekannt sind, wie aber auch die Seite »• einer be-kannten »»eckszakl p r sich berechnen lässt. Denn einmal ist

x m

; r _ [(»» - 2) (2r - 1) + 2]’ - (m - 4)*

lm 8 (m — 2) ’

was bei Biophant im 9. Satze folgendermassen lautet: „Wir nehmendie Seite (»•) der Polygonalzahl doppelt, ziehen davon die Einheitab; den Rest vervielfältigen wir durch die um 2 verkürzte Zahl derEcken (»»»); zu dem Produkte wird 2 gezählt und die Summe quadrirt;von dem Quadrate ziehen wir ab das Quadrat der um 4 verkleinertenAnzahl der Ecken; den Rest theilen wir durch das 8 fache der um2 verkürzten Anzahl der Ecken, so werden wir die Polygonalzahlfinden.“ Zweitens findet sich aus dieser Formel durch Rückwärts-entwicklung

r = Af V% (»» ~ 2) p r m + (m - 4> - 2 +

“ L m — 2 J

und Uiophant fährt auch wirklich fort: „Ist diese (i. e. die Polygo-nalzahl) gegeben, so finden wir deren Seite auf folgende Art. Wirvervielfältigen sie durch das 8 fache der um 2 verkürzten Anzahl derEcken; zum Produkte zählen wir das Quadrat der um 4 verkürztenAnzahl der Ecken, so werden wir eine Quadratzahl erhalten, wenndie gegebene wirklich eine Polygonalzahl war. Von der Seite diesesQuadrates ziehen wir 2 ab; den Rest theilen wir durch die um 2verkleinerte Anzahl der Winkel, setzen die Einheit hinzu und nehmenvon der Summe die Hälfte: so werden wir die Seite der gesuchtenQuadratzahl erhalten.“ Als Satz 10. schliesst sich noch die Aufgabean, zu erforschen, auf wie viele Arten eine gegebene ZahlPolygonalzahl sein könne? Der Sinn dieser Frage ist klar.Die Zahl 36 z. B. ist die 8. Dreieckszahl, die 6. Viereckszahl, die3. Dreizehneckszahl und die 2. Sechsunddreissigeckszahl, kann alsoauf vier Arten Polygonalzahl sein, und diese Anzahl 4 wird eben