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Kapitel XXVI.
-f-(1 + ( r ~■ 1) t m — -))• Wir haben (S. 414) bei Diophaut um360 u. dir. vielleicht allerdings aus früherer Quelle die beiden
Gleichungen auftreten sehen p r = —- ^ 7— - L - ~ - m - ~
° 1 rn 8 (»» — 2 )
1 “
undr = -
V* (»» — 2) p r m + (m — 4) 2 — 2
+ 1
Diese beiden Formeln
nun, welche bei bekannter Ordnung m einmal die Vieleckszahl ausihrem oberen Index r, das andere Mal jenen Index r aus der rtenVieleckszahl ableitet, kommen in unserem Fragmente vor, zwar nichtwie bei Diopliant als in Worte gekleidete allgemeine Formeln, aberin ihrer Anwendung auf die Vieleckszahlen aufeinanderfolgenderOrdnung von der Dreieckszahl bis zur Zwölfseckszahl, mit zweiRechenfehlern, wo es um Fünf- und Sechseckszahlen sich handelt. Dort
wäre nämlich richtig p r & = ■, p r 6 — 4r - 2T - während die
irriger Weise statt der Subtraktionen in den betreffenden Zählern
3 2 + r■2 >
vorgenommenen Additionen die falschen Formeln p
= 4| - ^" r hervorbrachten, nach welchen gerechnet ist. Es ist
gewiss berechtigt, daraus den Schluss zu ziehen,') dass dabei die all-gemeinen Wortformeln den Ausgangspunkt bildeten, denn es istunendlich viel wahrscheinlicher, dass zwei Fehler mangelhafter Sub-stitution Vorkommen, als dass bei der Einzelbetrachtung der aufein-folgenden Vieleckszahlen zwei in Rechenfehler ausartende Schreib-fehler just bei niedrigem Werthe von m sich hätten einschleichensollen.
Auch eine merkwürdige Formel für Pyramidalzahlen lässtaus den Eiuzelfällen sich erkennen, deren Ableitung freilich nirgendgegeben ist, aber nachträglich sich leicht errathen lässt, ohne irgendKenntnisse in Anspruch zu nehmen, welche nicht bei den Griechensich nachweisen Hessen . Nennt man die Summe der r ersten m ecks-
zahlen die rte m eckige Pyramidalzahl und schreibt dafür P r , soist die Definitionsgleichung P r m — p^ + p 2 + ••• -^ un
nehmen wir an, es sei ausgehend von dem bekannten Satzea 7 — ß- = (a -j- ß) . (a — ß) die Umformung vorgenommen worden:
[(m — 2) (2 r — 1) + 2] 2 — (m — 4) 28 (vi — 2)
_ [(»» — 2) (2 r — X) + 2 + (m —4)] • [(»« — 2) (2r — 1) + 2 — (m — 4)]
8 (m — 2)
_ (m — 2) 2 r [(>« — 2) 2r + 8 — 2m] _ m — 2 2 m — 4
8 (m — 2) 2 ' 2 ' r ’
*) Agrimensoren S. 126.