Die Bliithezeit der römischen Geometrie. Die Agrimensoren. 473
Setzt man die entsprechenden Werthe in alle Vieleckszahleu vonp * 1 bis p r ein, so erhält man
K = m I 2 (l 2 + 2* + • • + r') - m 7 4 (1 + 2 + . . + >•).
Aber spätestens zu Archimeds Zeiten (S. 209—270) war bekannt
1 _|_ 2 + .. + >• = und 1* + 2 2 -f .. + r 2 = r( r + | H 2r + l) ,
wenn auch letzteres noch nicht in der kurzen Form, deren wir uns .
bedienen. Diese Werthe liefern P r = m ^ ^ j- 2r
m 2 G
llLzii . r beziehungsweise P r m = “■ -. 2r 3 + “ 2 . r
- m 7 4 . 3r] = r + 1 _ ^_=i) , r+ ?».-? .
— m 2 4 . -rj = - -7 - |^2jP -f- 7] und dieser letzteren Formel be-dient sich der römische Schriftsteller.
Ja er kennt sogar die Summirung der r ersten Kubik-zahlen: l 3 -)- 2 3 -)- .. -|- r 3 = • Auch hier ist die Auf-
findung des Weges, auf welchem ein Grieche zu dieser Formel gelangenkonnte, mag er nun geheissen und gelebt haben wie und wann erwollte, nicht allzuschwierig. Nikomachus, sagten wir (S. 366), habeum 100 n. Chr. die Beziehung zwischen den Kubikzahlen und auf-einanderfolgenden ungeraden Zahlen erkannt, welche dahin sich aus-spricjit, die erste Kubikzahl sei gleich der ersten ungeraden Zahl,die zweite gleich der Summe der zwei darauf folgenden ungeradenZahlen, die dritte gleich der Summe der darauf wieder folgenden dreiungeraden Zahlen u. s. w. Ueber siimmtliche r ersten Kubikzahlenausgedehnt liefert das als deren Gesammtsumme die Summe der
1 -f- 2 -f- . . -|- r d. li. der — r -~— auf einander folgenden ungeraden
Zahlen von der 1 anfangend. Die alten Pythagoräer wussten aberschon (S. 135), dass diese das Quadrat ihrer Anzahl bilden. Die Ge-
sammtsumme ist mithin l 3 -f- 2 3 + .. -(- r 3 = und genau
so rechnet unser Schriftsteller.
Diese arithmetischen Kenntnisse: eine Darstellung der Vielecks-zahl aus ihrer Seite, der Seite aus der Vieleckszahl, der Pyramidal-zahl aus Vieleckszahl und Seite, endlich die Summirung der aufeinander folgenden Kubikzahlen einem griechischen Schriftsteller auchohne Beweis entnommen zu haben, würde schon ein gewisses mathe-matisches Verdienst der Männer voraussetzen, welche es verständnis-voll unternahmen die interessanten Formeln aufzubewahren. Ob wiraber dem Epaphroditus und Vitruvius Rufus das Beiwort des Ver-