Die spätere mathematische Literatur der Römer.

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Kolumnen, feste oder gezeichnete, hatten zwar auch die altenund ältesten Rechenbretter, aber deren Ausfüllung beim Rechnenerfolgte mittels Marken, deren jede die Einheit der betreffenden derKolumne oder der Kolumnenabtheilung angehörenden Rangordnungbezeiclmete. Jetzt w r ar eine wesentliche Aenderung eingetreten.„Man hatte Apices (Kegelchen?} oder Charaktere von verschiedenerLlestalt.“')

Jede dieser Marken war mit einer Bezeichnung versehen, welcheihr den Werth einer der neun Kingerzahlen beilegte, und dieseBezeichnung wird nun im fortlaufenden Texte genau so abgebildetwie es auf dem vorhergezeichneten Abacus der Fall war. Damit ist.also widerspruchslos bewiesen, dass die Zeichen gleichen Alters undgleichen Ursprunges wie der sie umgebende Text sind, und nicht erstnachträglich auf die vorher von derartigen Zeichen freigeweseneTafel eingeschmuggelt werden konnten. Wohl aber wäre es mög-lich, dass es sich so mit gewissen eigentliiimlichen Wörtern ver-hielte, die nicht im Texte sondern einzig und allein auf der Figursich finden.

Wir würden der ganzen Untersuchung einen selbst für dieWichtigkeit, welche ihr innewohnt, uiiverhältuissmässig grossenRaum widmen müssen, wenn wir fortführen wörtlich zu übersetzenoder gar zu erläutern. Wir wollen nur kurz berichten, dass Regelnder Multiplikation und der Division nachfolgen, jene breiter unddeutlicher angelegt, diese dunkler, wie der Verfasser selbst fühlt,wenn er sagt „Ist es irgendwie dunkel gehalten, so müssen wir demffeissigen Leser die Einübung überlassen.“ 2 ) Bei der Multiplikationkommen die Einzelfälle zur Sprache, welches Produkt also entstehe,wenn Zehner mit Hundertern, mit Tausendern u. s. w. vervielfachtwerden. Bei der Division erscheint die complementäre Divi-sionsmethode, von der ankündigend (S. 447) die Rede war. DasComplement, die Differentia des ßoethius, ist die Zahl, um welcheein Divisor kleiner ist als die nächste nicht zusammengesetzte Zahl,letzteres Wort in dem oben detinirten Sinne genommen. Der DivisorIG z. B. hat bis zu 20 die Differenz 4, der Divisor 78 bis zu 80 dieDifferenz 2, der Divisor 623 hätte bis zur nächsten nicht zusammen-gesetzten Zahl 700 die Differenz 77. Nun wird mit dem vergrössertenDivisor dividirt, und jedesmal dem Reste das Produkt des Quotientenin die Differenz ergänzend wieder beigefügt, bis man fertig ist. Manwird leicht erkennen, dass diese Methode, wenn auch mehr Theil-divisionen als die gewöhnliche erfordernd, weit zuverlässiger ist, weilhier, wo mit einer einfachen Zahl die Theildivision vorgenommen

') Boetius (ed. Friedlein) pag. 397, 2—3. 2 ) Boetius (ed. Friedlein)pag. 400, 28—30.