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Kapitel XXIX.

ihn verkleinert werden sie feste Zahlen, dridhn, oder theilerfremd,ein Begriff, den Brahmagupta durch die Namen niccheda "oder nira-pavarta dem deutschen Worte entsprechender bezeichnet. 1 ) Soll nuneine Zerstäubungsaufgabe gelöst werden, so muss vor allen DingenDividend, Divisor und Additive durch dieselbe Zahl verkleinertwerden können. „Misst die Zahl, welche für Dividend und Divisordas Maass ist, die Additive nicht, so ist die Aufgabe schlecht ge-stellt.“ Die Meinung dieses Satzes, von welchem übrigens so wenigwie von der eigentlichen Methode ein Beweis gegeben ist, bestehtdarin, dass wenn a x -f- b — c y in ganzen Zahlen lösbar sein soll,jeder Theiler des Dividenden a und des Divisors c auch in derAdditiven b enthalten sein muss, dass es also möglich sein muss,durch Verkleinerung der vorgelegten Gleichung mittels des grösstengemeinsamen Theilers von a und c diese beiden Coefficienten theiler-fremd zu machen. Denkt man sich diese Vorbereitung betroffen, somuss bei der nunmehr erfolgenden Aufsuchung des grössten gemein-samen Theilers der neuen a und c nach dem euklidischen Ketten-bruchverfahren schliesslich der liest 1 auftreten. Die einzelnen Quo-tienten der aufeinanderfolgenden Divisionen seien q x , q 2 , ■ ■ • q n> dieentsprechenden Reste r x , r. n • ■ ■ r n , wo also r n — 1 sein muss. Manschreibt die Quotienten in ihrer Reihenfolge in eine Zeile und fügtam Schlüsse noch die Additive b und eine Null bei, so dass dieseletztere eingeschlossen n -j- 2 Zahlengrössen in einer Zeile nebeneinander stehen. Nun vervielfacht man das drittletzte Glied mit demvorletzten und addirt das letzte, streicht das letzte ganz und ersetztdas drittletzte durch die eben gefundene Zahl. Man hat mithin jetzteine Zeile von n -(- 1 Zahlengrössen vor sich, an welcher mau daseben erläuterte Verfahren, welches die Anzahl wieder um eins ver-ringert, wiederholt. Das setzt mau so fort bis schliesslich nur zweiZahlen in der Zeile sich befinden, und nun hat man zwei Fälle zuunterscheiden. War n grad, so ist von beiden Zahlen die erste y,die zweite x. War n ungrad, so muss man die erhaltenen Wert hevon a und von c abzählen, um die richtigen y und x zu finden.Eine Verminderung des gefundenen y um den Betrag eines Vielfachenvon «, während von x das Gleichvielfache von c abgezogen wird, istin beiden Fällen gestattet.

Ein Beispiel, welches zu einem graden i^fiihrt, ist-’) 100 x -(-90= 63 y. Die Division 100:63 gibt den Quotienten q x = 1 und denRest r x =37. Die folgenden Quotienten und Reste sind q 2 — 1,r 2 = 26; q 3 = 1, r 3 => 11; q 4 = 2, r 4 = 4; q. = 2, r b = 3;q 6 — 1, r 6 — 1, mithin n — 6. Die zu bildenden Zahlenreihen sind:

') Colebrooke pag. 330, Note 3. *) Ebenda pag. 115, § 255.